Teorema di unicità del sollevamento

Template:F Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

Enunciato del teorema

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se $Y$ è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

$p:E\to X$

ed una funzione continua

$f:Y\to X$

definita su uno spazio connesso $Y$. Siano inoltre

$g:Y\to E,h:Y\to E$

due sollevamenti della $f$. Se esiste $y_0$ in $Y$ tale che $g(y_0)=h(y_0)$ allora $g(y)=h(y)$ per ogni $y$ in $Y$.

Dimostrazione

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

$A=\{y\in Y|g(y)=h(y)\}$

Per ipotesi, $y_0$ è un elemento di $A$. Mostriamo che $A$ ed il suo complementare $Y\setminus A$ sono entrambi aperti: poiché $Y$ è connesso, seguirà che $A=Y$, e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato $y$ in $Y$, sia $V$ un aperto connesso uniformemente rivestito di $X$ contenente $f(y)$. Siano $U_g,U_h$ le componenti connesse in $p^{-1}(V)$ contenenti rispettivamente $g(y)$ e $h(y)$. Consideriamo l'aperto di $Y$:

$W=g^{-1}(U_g)\cap h^{-1}{U}_h.$

Se $y$ appartiene ad $A$, allora $g(y)=h(y)$ e quindi $U_g=U_h$, e siccome la restrizione di $p$ all'aperto $U_g=U_h$ è iniettiva segue che $g(w)=h(w)$ per ogni $w$ in $W$, e quindi $W$ è interamente contenuto in $A$. Questo prova che $A$ è aperto.

Se $y$ non appartiene ad $A$ allora $U_g$ e $U_h$ sono disgiunti, e quindi lo sono anche $W$ ed $A$: questo prova che il complementare di $A$ è aperto.

Generalizzazioni

Il teorema è valido anche se $p:E\to X$ è solo un omeomorfismo locale.