Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

Template:Torna a Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.

Enunciato

Il teorema afferma che una successione monotona $\{a_n\}$ di numeri reali converge sempre ad un limite $a$; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.

Tale limite è finito se e solo se $\{a_n\}$ è limitata.

Esempi

La successione $a_n=1/n$:

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$

è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:

$a=\inf \{a_n\}=0$

La successione $a_n=n$:

$1,2,3,\dots$

è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:

$a=\sup \{a_n\}=+\mathrm{\infty }$

Dimostrazione

Supponiamo la successione $\{a_n\}$ sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni $x$ esiste un $N\in \mathbb{N}$ tale che $a_N>x$; di conseguenza, per la monotonia, $a_n>x$ per ogni $n>N$. Per definizione, allora, il limite di $\{a_n\}$ è infinito.

Se la successione è limitata, sia $a$ il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni $ϵ>0$ esiste un $N\in \mathbb{N}$ tale che $a_N>a-ϵ$; di conseguenza, $a_n>a-ϵ$ per ogni $n>N$. Per definizione di limite, $a$ è il limite di $\{a_n\}$.

Nel caso in cui $\{a_n\}$ sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione $\{-a_n\}$ e poi applicare le proprietà dei limiti.

Bibliografia

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