Teorema di continuità di Kolmogorov

In matematica, il teorema di continuità di Kolmogorov è un risultato che garantisce che un processo stocastico che soddisfa alcune restrizioni sulla propria crescita è continuo (o, più precisamente, ammette una versione continua). Prende il nome dal matematico russo Andrej Kolmogorov.

Enunciato

Sia $X:[0,+\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ un processo stocastico, e supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$, $\beta >0$ e $K>0$ tali che

$𝔼[|X_t-X_s{|}^{\alpha }]\le K|t-s{|}^{1+\beta }$

per ogni $s,t\in [0,+\mathrm{\infty })$.

Allora esiste una versione continua di $X$, ovvero esiste un processo $\tilde{X}$ continuo, tale che $X_t={\tilde{X}}_t$ quasi certamente per ogni $t$. Inoltre, l'applicazione $t\to {\tilde{X}}_t$ è holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \le \frac{\beta }{\alpha }$.

Enunciato generale

Il teorema può essere generalizzato al caso in cui il processo non sia indicizzato solo su $[0,+\mathrm{\infty })$.

Sia $D\subset {ℝ}^m$ un aperto, e sia $(X_y{)}_{y\in D}$ una famiglia di variabili aleatorie d-dimensionali su $\mathrm{\Omega }$. Supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$, $\beta >0$ e $K>0$ tali che

$𝔼[|X_y-X_z{|}^{\alpha }]\le K\Vert y-z{\Vert }^{m+\beta }$

per ogni $y,z\in D$.

Allora esiste una versione continua di $X$, ovvero esiste una famiglia $({\tilde{X}}_y{)}_{y\in D}$ tale che $X_y={\tilde{X}}_y$ quasi certamente per ogni $y\in D$ e tale che l'applicazione $y\to {\tilde{X}}_y$ è continua. Inoltre, $y\to {\tilde{X}}_y$ è anche holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \le \frac{\beta }{\alpha }$.

Esempi

Il teorema di continuità di Kolmogorov può essere usato per dimostrare che il moto browniano standard in ${ℝ}^n$ ha una versione continua: basta scegliere $\alpha =4$, $\beta =1$ e $K=n(n+2)$

Bibliografia

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