Teorema di Weyl (algebra lineare)

In algebra lineare, il teorema di Weyl, anche detto disuguaglianza di Weyl o teorema di monotonicità di Weyl, caratterizza gli autovalori della matrice somma di due matrici hermitiane.

Enunciato

Siano $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ due matrici hermitiane $n\times n$ con autovalori ${\lambda }_1\le ...\le {\lambda }_n$ e ${\mu }_1\le ...\le {\mu }_n$ rispettivamente. Siano ${\gamma }_1\le \dots \le {\gamma }_n$ gli autovalori della matrice $\mathrm{A}+\mathrm{B}$, si ha:

${\lambda }_j+{\mu }_{k-j+1}\le {\gamma }_k\le {\lambda }_i+{\mu }_{n-i+k}\mathrm{\forall }k\le n$

per $1\le j\le k\le i\le n$.

Dimostrazione

Si considerino le seguenti diagonalizzazioni:

$\mathrm{A}={\mathrm{U}\mathrm{\Lambda }\mathrm{U}}^H\mathrm{B}={\mathrm{V}\mathrm{M}\mathrm{V}}^H\mathrm{A}+\mathrm{B}={\mathrm{W}\mathrm{\Gamma }\mathrm{W}}^H$

dove $\mathrm{U}$, $\mathrm{V}$ e $\mathrm{W}$ sono unitarie. Dette ${𝐮}_i$, ${𝐯}_i$ e ${𝐰}_i$ le colonne di $\mathrm{U}$, $\mathrm{V}$ e $\mathrm{W}$, si considerino gli spazi:

$𝒰=⟨{𝐮}_j,\dots ,{𝐮}_n⟩$

$𝒱=⟨{𝐯}_{k-j+1},\dots ,{𝐯}_n⟩$

$𝒲=⟨{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_k⟩$

con $j\le k\le i$ fissati. Applicando la formula delle dimensioni si ottiene:

$\dim (𝒰\cap 𝒱\cap 𝒲)=1$

Allora esiste un vettore $𝐳\in 𝒰\cap 𝒱\cap 𝒲$ di norma euclidea:

${\Vert 𝐳\Vert }_2=1𝐳\in \mathrm{U}$

perciò:

$𝐳={\alpha }_j{𝐮}_j+\dots +{\alpha }_n{𝐮}_n$

con ${\alpha }_i\in ℂ$. Inoltre dato che $\mathrm{U}$ è unitaria e che ${\Vert 𝐳\Vert }_2=1$:

${𝐳}^H\mathrm{A}\mathrm{z}\ge {\lambda }_j$

usando la diagonalizzazione unitaria di $\mathrm{A}$. Con lo stesso ragionamento:

${𝐳}^H\mathrm{B}\mathrm{z}\ge {\mu }_{k-j+1}$, ${𝐳}^H\mathrm{(}\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{)}\mathrm{z}={\gamma }_k$

Da queste ultime tre disuguaglianze si ricava la prima disuguaglianza del teorema:

${\gamma }_k\ge {𝐳}^H\mathrm{(}\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{)}𝐳={𝐳}^H\mathrm{A}𝐳+{𝐳}^H\mathrm{B}𝐳\ge {\lambda }_j+{\mu }_{k-j+1}$

Per la seconda disuguaglianza del teorema si procede in modo analogo.

Bibliografia

• Template:En Matrix Theory, Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Matrice hermitiana

Collegamenti esterni

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