Teorema di Viviani

Per ogni punto (interno) P di un triangolo equilatero, la somma delle sue distanze dai tre lati Template:Tutto attaccato è costante, e uguale all'altezza del triangolo.

Il teorema di Viviani, un teorema della geometria euclidea, afferma che la somma delle tre distanze dai lati di un qualunque punto di un triangolo equilatero è costante, e uguale all'altezza del triangolo. Prende il nome dal matematico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) che lo dimostrò.

Dimostrazione

La dimostrazione si basa sul fatto che l'area del triangolo è data dalla regola base per altezza diviso due.

Sia ABC un triangolo equilatero di altezza h e lato a.

Sia P un punto interno del triangolo, e u, s, t le distanze da P dai suoi rispettivi lati. I segmenti che da P incontrano i vertici A, B, and C, suddividono il triangolo ABC in tre triangolini PAB, PBC, and PCA. Poiché il triangolo è equilatero, le loro rispettive basi sono uguali (e costanti) al lato a del triangolo ABC.

Le tre rispettive aree sono $\frac{u\cdot a}{2}$, $\frac{s\cdot a}{2}$, e $\frac{t\cdot a}{2}$. La loro somma fornisce l'area del triangolo. Per cui:

$\frac{u\cdot a}{2}+\frac{s\cdot a}{2}+\frac{t\cdot a}{2}=\frac{h\cdot a}{2}$

e quindi

u + s + t = h.

Q.E.D.

Bibliografia

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• Template:Cita libro
• Template:EnKen-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: On Viviani’s Theorem in Three Dimensions. In: The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 515 (Jul., 2005), S. 283–287 (Template:JSTOR)
• Template:EnHans Samelson: Proof without Words: Viviani’s Theorem with Vectors. In: Mathematics Magazine, Vol. 76, No. 3 (Jun., 2003), S. 225 (Template:JSTOR)

Collegamenti esterni

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