Teorema di Lagrange (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il teorema di Lagrange è un enunciato che prende il nome da Joseph-Louis Lagrange su quanto frequentemente un polinomio sugli interi può assumere valore uguale a un multiplo di un numero primo fissato. Più precisamente, esso afferma che se $p$ è un numero primo e $f (x) \in ℤ [x]$ è un polinomio a coefficienti interi, allora:

ogni coefficiente di $f (x)$ è divisibile per $p$ , oppure
$f (x) \equiv 0 mod p$ ha, al massimo, grado di $f (x)$ soluzioni incongruenti.

Le soluzioni sono "incongruenti" se non differiscono di un multiplo di $p$ . Se il modulo non è primo, allora è possibile che ci siano più di grado di $f (x)$ soluzioni.

Una dimostrazione del teorema di Lagrange

Le due idee chiave sono le seguenti. Sia $g (x) \in (ℤ / p ℤ) [x]$ il polinomio ottenuto da $f (x)$ prendendo i coefficienti $mod p$ . Ora (i) $f (k)$ è divisibile per $p$ se e solo se $g (k) = 0$ ; (ii) $g (k)$ non ha più radici del suo grado.

Più rigorosamente, cominciamo ad osservare che $g (x) = 0$ se e solo se ogni coefficiente di $f (x)$ è divisibile per $p$ . Supponiamo che $g (x)$ non sia 0; il suo grado è, quindi, ben definito. È facile vedere che $grado di g (x) \leq grado di f (x)$ . Per dimostrare (i), prima osserviamo che possiamo calcolare $g (k)$ o direttamente, cioè inserendo (la classe residua di) $k$ ed eseguendo operazioni aritmetiche in $ℤ / p ℤ$ , o riducendo $f (k) mod p$ . Quindi $g (k) = 0$ se e solo se $f (k) \equiv 0 mod p$ , cioè se e solo se $f (k)$ è divisibile per $p$ . Per dimostrare (ii), osserviamo che $ℤ / p ℤ$ è un campo, il che è un fatto normale; una dimostrazione rapida consiste nell'osservare che, poiché $p$ è primo, $ℤ / p ℤ$ è un dominio d'integrità finito, quindi è un campo. Un altro fatto normale è che un polinomio non-nullo su un campo ha al massimo tante radici quanto il suo grado; ciò segue dall'algoritmo di divisione.

Infine, osserviamo che due soluzioni $f (k_{1}), f (k_{2}) \equiv 0 mod p$ sono incongruenti se e solo se $k_{1} \equiv̸ k_{2} mod p$ . Mettendo tutto insieme: il numero di soluzioni incongruenti, per via di (i), è lo stesso del numero di radici di $g (x)$ , che, per via di (ii), è al massimo $grado di g (x)$ , che è al massimo $grado di f (x)$ .

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Una dimostrazione del teorema di Lagrange

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