Teorema di Kronecker

Template:S Il teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.

In una matrice $A$, considerata una sottomatrice quadrata di ordine $p$ con determinante diverso da zero, si definiscono orlati tutte le sottomatrici quadrate di ordine $p+1$, ottenute aggiungendo una riga e una colonna di $A$. Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora $rk(A)=p$.

Grazie a tale teorema non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli che orlano un minore di ordine $p$.

Esempio

La seguente matrice:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 3& -5& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right)$

ha un minore di ordine $2$ non nullo:

$A_m=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

È sufficiente considerare gli orlati di $A_m$, che sono solo due dei quattro minori di ordine $3$ di $A$:

$\det \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 3& -5& 1\end{array}\right)=0$

$\det \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 2& -1& 3\end{array}\right)=0$

Essi risultano nulli, quindi $rk(A)=2$.

Voci correlate

• Matrice
• Rango (algebra lineare)
• Minore (algebra lineare)
• Determinante