Teorema di Hartogs (teoria degli insiemi)

In teoria degli insiemi, il Teorema di Hartogs, dimostrato dal matematico tedesco Friedrich Hartogs, afferma che l'assioma della scelta è equivalente alla condizione che, dati due insiemi qualsiasi $A$ e $B,$ si abbia sempre

$\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$ oppure $\mathrm{card}(B)\le \mathrm{card}(A).$

Questo significa che, assumendo l'assioma della scelta, tutti gli insiemi hanno cardinalità comparabile, anche se infiniti.

Dimostrazione

Dimostriamo che l'assioma della scelta implica che tutte le cardinalità sono comparabili. Siano $A$ e $B$ due insiemi e sia $(P,\le )$ un insieme parzialmente ordinato tale che:

• gli elementi di $P$ sono terne $(X,f,Y)$ ove $X\subset A,$ $Y\subset B$ e $f$ è un'iniezione da $X$ a $Y.$
• la relazione d’ordine $\le$ è la seguente: $(X,f,Y)\le (X_1,f_1,Y_1)$ se e solo se $X\subset X_1,$ $Y\subset Y_1$ e $f_1$ ristretta a $X$ è uguale a $f$.

Tale insieme non è vuoto in quanto l'insieme vuoto $\varnothing \subset A,$ $\varnothing \subset B$ ed esiste un'iniezione $v$ tra $\varnothing$ e $\varnothing ,$ dunque $(\varnothing ,v,\varnothing )\in (P,\le ).$

Sia $C$ una catena di $(P,\le )$ tale che $(X_1,f_1,Y_1)\le (X_2,f_2,Y_2)\le \dots \le (X_i,f_i,Y_i)\le \dots .$ Siano

$W:=X_1\cup X_2\cup \cdots \cup X_i\cdots ={\cup }_i{X}_i,$

$Z:=Y_1\cup Y_2\cup \cdots \cup Y_i\cdots ={\cup }_i{Y}_i,$

e sia $g$ la funzione da $W$ a $Z$ tale che se $x\in X_i,$ allora $g(x)=f_i(x).$ Tale funzione è ben definita e iniettiva, $W\subset A$ e $Z\subset B,$ quindi $(W,g,Z)\in (P,\le ).$

La terna $(W,g,Z)$ è un maggiorante di $C$, infatti $X_i\subset W$ e $Y_i\subset Z,$ per ogni indice $i,$ e $g$ ristretto a $X_i$ è uguale a $f_i$ per definizione di $g$. Allora sono verificate le ipotesi del lemma di Zorn (che è equivalente all'assioma della scelta) ed esiste dunque un elemento massimale $(M,h,N).$

Dimostriamo allora che $M=A$ oppure $N=B.$ Supponiamo per assurdo che ciò sia falso, ossia che $M\ne A$ e $N\ne B.$ Si ha quindi che esistono $a\in A\setminus M$ e $b\in B\setminus N.$ Consideriamo allora $(M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})$, ove $j(x)=h(x)$ se $x\ne a,$ altrimenti $j(x)=b$. La funzione $j$ è iniettiva e dunque $(M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})\in (P,\le ).$ Inoltre $M\subset M\cup \{a\}$, $N\subset N\cup \{b\}$ e $j$ ristretta a $M$ è uguale a $h$ per costruzione. Di conseguenza

$(M,h,N)\le (M\cup \{a\},j,N\cup \{b\}),$

ma questo è assurdo poiché $(M,h,N)$ è massimale. Ne consegue che $M=A$ oppure $N=B,$ è quindi vi è un'iniezione da $A$ in un sottoinsieme di $B$ o da $B$ in un sottoinsieme di $A$ e quindi $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$ oppure $\mathrm{card}(B)\le \mathrm{card}(A).$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder
• Relazione tricotomica