Teorema di Euclide-Eulero

In matematica, il teorema di Euclide–Eulero è un teorema che mette in relazione i numeri perfetti ai primi di Mersenne. Il teorema afferma che ogni numero perfetto pari è della forma $2^{n-1}(2^n-1)$, dove $2^n-1$ è un numero primo, detto anche primo di Mersenne.

Si congettura che esistano infiniti primi di Mersenne. Sebbene la validità della congettura rimanga ignota, è equivalente, per il teorema di Euclide-Eulero, ad affermare l'esistenza di infiniti numeri perfetti pari. Tuttavia non si è nemmeno a conoscenza se esista un numero perfetto dispari.

Enunciato

Un numero perfetto è un numero naturale che è uguale alla somma dei suoi divisori propri, cioè escluso se stesso. Un primo di Mersenne è un numero primo della forma $M_p=2^p-1$, dove $p$ deve essere anch'esso primo.

Il teorema di Euclide-Eulero afferma che un numero pari è perfetto se e solo se è della forma $2^{p-1}{M}_p$, dove $M_p$ è un primo di Mersenne.

Storia

Euclide dimostrò che $2^{p-1}(2^p-1)$ è numero perfetto pari ogni volta che $2^p-1$ è primo (Euclide, Prop. IX.36). Questo è il risultato finale della teoria dei numeri nei suoi Elementi, al contrario dei successivi libri in cui Euclide tratta i numeri irrazionali, la geometria solida e il rapporto aureo. Euclide espresse il suo risultato affermando che se una serie geometrica finita con valore iniziale 1 e ragione 2 ha come somma un numero primo $P$, allora $P$ moltiplicato per l'ultimo termine $T$ della serie è un numero perfetto. In altre parole, la somma $P$ della serie finita è il numero primo di Mersenne $2^p-1$, mentre l'ultimo termine $T$ è la potenza $2^{p-1}$. Euclide dimostrò che $PT$ è perfetto osservando che la serie geometrica con ragione 2 e inizio in P, con lo stesso numero di termini, è proporzionale alla prima somma; pertanto, dato che la serie originale ha somma $P=2T-1$, la seconda serie vale $P(2T-1)=2PT-P$ e quindi la loro somma è uguale a $2PT$, il doppio dell'ipotetico numero perfetto. Tuttavia, le due serie sono disgiunte una dall'altra e, per la primalità di $P$, esauriscono tutti i divisori di $PT$. Perciò i divisori di $PT$ hanno somma uguale a $2PT$, che è la definizione di numero perfetto.

Oltre un millennio dopo Euclide, Alhazen (c. 1000 DC) congetturò che ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$ con $2^p-1$ primo, ma non fu mai in grado di dimostrarlo.

Solo nel XVIII secolo, Eulero riuscì a dimostrare che la formula $2^{p-1}(2^p-1)$ produce tutti i numeri perfetti pari. In altre parole, esiste una relazione biunivoca tra i numeri perfetti pari e i primi di Mersenne.

Dimostrazione

La dimostrazione di Eulero è corta e dipende dal fatto che la funzione sigma è una funzione moltiplicativa, cioè se $a$ e $b$ sono due interi relativamente primi, allora $\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$. Per fare questo, la somma dei divisori di un numero deve includere anche il numero stesso, non solo i divisori propri. Un numero $n$ è perfetto se e solo se $\sigma (n)=2n$.

Una direzione del teorema (la parte già dimostrata da Euclide) segue immediatamente dalla proprietà moltiplicativa: ogni primo di Mersenne dà origine a un numero perfetto pari. Quando $2^p-1$ è primo, $\sigma (2^{p-1}(2^p-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^p-1)$. La somma dei divisori di $2^{p-1}$ è uguale a $2^p-1$, mentre la primalità di $2^p-1$ implica che $\sigma (2^p-1)=2^p$, dato che i suoi unici divisori sono 1 e se stesso. Sostituendo quanto trovato, si ricava che

$\sigma (2^{p-1})\sigma (2^p-1)=(2^p-1)2^p=2(2^{p-1}(2^p-1)).$

Pertanto, $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto.

Per l'altra implicazione del teorema, sia $n$ un numero perfetto pari, parzialmente fattorizzato come $2^{k}x$, con $x$ dispari. Se $n$ è perfetto, si deve avere che

$2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).$

Il numero $2^{k+1}-1$ è almeno 3 e deve dividere o eguagliare $x$, l'unico fattore dispari al membro sinistro, quindi $y=x/(2^{k+1}-1)$ è un divisore proprio di $x$. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per il fattore comune $2^{k+1}-1$ si ottiene

$2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+\text{altri divisori}=2^{k+1}y+\text{altri divisori}.$

Per fare in modo che l'uguaglianza sia verificata, non ci devono essere altri divisori. Di conseguenza, $y$ deve essere 1, e $x$ deve essere un primo della forma $2^{k+1}-1$.