Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

Enunciato

Siano $f,g:[a,b]\to ℝ$ due funzioni reali di variabile reale continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$.

Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che

$[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).$

Si noti che se $g^{\prime }(c)\ne 0$ (e dunque in particolare $g(b)\ne g(a)$), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

Dimostrazione del teorema

Si consideri la funzione $h$ di variabile reale definita nell'intervallo $[a,b]$ come

$h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)$

Questa funzione è continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, e

$h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).$

$h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).$

Da cui $h(a)=h(b)$.

La funzione $h$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto $c\in (a,b)$ in cui $h^{\prime }(c)=0$, cioè

$[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c)-[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=0.$

Applicazioni

• Considerando in particolare la funzione $g(t)=t$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
• Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath