Teorema di Borsuk

Il teorema di Borsuk è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia algebrica. Ha come conseguenza importante il teorema di Borsuk-Ulam.

Enunciato

Il teorema di Borsuk asserisce il fatto seguente.

Non esistono applicazioni continue $f:S^2\to S^1$ dalla sfera in sé tali che $f(-x)=-f(x)$ per ogni punto $x$ della sfera.

Dimostrazione

Sia $f:S^2\to S^1$ un'applicazione continua, vogliamo dimostrare che esiste x₀ ∈ S² tale che $f(-x_0)$ diverso da - $f(x_0)$.

Consideriamo il rivestimento universale $e:ℝ\to S^1$; per un corollario relativo al teorema del sollevamento dell'omotopia esiste un'applicazione continua $g:S^2\to ℝ$ che solleva $f$, ossia tale che $e|g=f$.

Per un lemma della teoria topologica esiste un punto x₀ appartenente a S² tale che $g(x_0)=g(-x_0)$ e di conseguenza: $f(x_0)=f(-x_0)$; in particolare $f(-x_0)\ne f(x_0)$, c.v.d.

Applicazioni

Template:Vedi anche Il Teorema di Borsuk-Ulam è una applicazione importante del teorema. Asserisce che per ogni applicazione continua $g$ : S² → R² esiste un punto $x$ appartenente a S² tale che $g(x)$ = $g(-x)$.

Voci correlate

• Karol Borsuk