Teorema delle tangenti e delle secanti

Il teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.

Enunciato

Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.

Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.

“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”

Ipotesi

• Sia $A$ un punto esterno alla circonferenza $BDE$.
• Sia $AB$ tangente alla circonferenza.
• Sia $AD$ secante alla circonferenza in $D$ ed $E$.

Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:

Tesi

Il segmento $AB$ è medio proporzionale tra $AD$ e $AE$; vale a dire $AD:AB=AB:AE$.

Dimostrazione

Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli $ABD$ e $ABE$ sono simili.

Infatti hanno l'angolo in $A$ in comune e l'angolo $ABE$ congruente all'angolo $ADB$, perché angoli che insistono sullo stesso arco $EB$.

Ne consegue $AD:AB=AB:AE$. (c.v.d.)

Corollario

Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:

con $AB$ perpendicolare a $B{B}^{\prime }$, $C$ centro della circonferenza, $AB=B{B}^{\prime }=ED$, si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea con riga e compasso.

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