Teorema della sottobase di Alexander

Template:F Il teorema della sottobase (o prebase) di Alexander è un importante risultato di topologia, che fornisce una condizione necessaria per la compattezza di spazi qualsiasi a partire dal comportamento dei ricoprimenti di prebasi

Introduzione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e sia $ℬ$ una sua base. È noto che $X$ è compatto se ogni suo ricoprimento fatto con aperti di $ℬ$ ammette un sottoricoprimento finito. Il teorema di Alexander estende tale risultato anche per le prebasi. Ricordiamo che una prebase $𝒫$ è una collezione di aperti aperti di $X$ tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di $𝒫$ sia una base della topologia su $X$. Osserviamo che ogni prebase forma un ricoprimento aperto dello spazio

Enunciato formale e dimostrazione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $𝒫$ una sua prebase. Se ogni ricoprimento di $X$ fatto di elementi $𝒫$ ammette un sottoricoprimento finito allora $X$ è compatto

Procediamo per assurdo: sia $X$non compatto e mostriamo che esiste un ricoprimento di $X$ fatto con elementi di $𝒫$ che non ammette un sottoricoprimento finito. Per maggiore chiarezza suddividiamo la dimostrazione in due passi

Primo passo

Dimostriamo che l'insieme $Z$ delle sottofamiglie di $\tau$ che ricoprono $X$ ma che non ammettono sottoricoprimenti finiti, ordinato con l'inclusione, possiede un elemento massimale $𝒵$. Per l'ipotesi assurda $Z$ è sicuramente non vuoto. Mostriamo che ogni catena ammette maggiorante, onde l'esistenza dell'elemento massimale è conseguenza del Lemma di Zorn. Sia allora $C$ una catena e facciamo vedere che $𝒞=\bigcup _{𝒜\in C}𝒜$ è un maggiorante di $C$: chiaramente, basta solo far vedere che $𝒞$ è un elemento di $Z$. Se così non fosse, potremmo trovare un sottoricoprimento finito $\{A_1,...,A_n\}\subset 𝒞$ di $X$; inoltre, possiamo scegliere ${𝒜}_1,...,{𝒜}_n\in C$ tali che $A_i\in {𝒜}_i$ per ogni $i=1,...,n$. Dato che $C$ è una parte totalmente ordinata di $Z$, possiamo supporre che sia ${𝒜}_1=\underset{1\le i\le n}{\max }{𝒜}_i$ e avremmo l'assurdo che $\{A_1,...,A_n\}\subset {𝒜}_1$.

Secondo passo

Mostriamo che $𝒫\cap 𝒵$ è un ricoprimento aperto di $X$ : così facendo troveremmo un ricoprimento fatto con elementi della prebase che non ammette sottoricoprimenti finiti, essendo $𝒫\cap 𝒵\subset 𝒵$. Per far vedere che $𝒫\cap 𝒵$ è un ricoprimento aperto di $X$ bisogna mostrare che per ogni $x\in X$ esiste un aperto $P\in 𝒫\cap 𝒵$ tale che $x\in P$. Iniziamo ad osservare che esiste un aperto $A\in 𝒵$ tale che $x\in A$. D'altra parte, $𝒫$ è una prebase di $X$ sicché possiamo trovare $P_1,...,P_n\in 𝒫$ tali che $x\in \bigcap _{i=1}^n{P}_i\subset A$. Se qualche $P_i\in 𝒵$ abbiamo finito. Altrimenti per ogni $i=1,...,n$ il ricoprimento ${𝒵}_i=𝒵\cup \{P_i\}$ contiene strettamente $𝒵$ e non può appartenere a $Z$. Ne discende, per ogni $i=1,...,n$, esiste un sottoricoprimento finito $\{P_i,A_{i,1},...,A_{i,s_i}\}$ con $A_{i,j}\in 𝒵$: si ha poi

$\bigcap _{i=1}^n{P}_i\cup \bigcup _{i=1}^n\bigcup _{j=1}^{s_i}{A}_{i,j}=\bigcap _{i=1}^n{P}_i\cup \bigcap _{i=1}^n\bigcup _{i=1}^n\bigcup _{j=1}^{s_i}{A}_{i,j}=\bigcap _{i=1}^n(P_i\cup \bigcup _{i=1}^n\bigcup _{j=1}^{s_i}{A}_{i,j})\supseteq \bigcap _{i=1}^n(P_i\cup \bigcup _{j=1}^{s_i}{A}_{i,j})=\bigcap _{i=1}^{n}X=X$

Si è così trovato così un sottoricoprimento finito di $𝒵$, che è assurdo.