Teorema del consenso

Template:F Il teorema del consenso è un teorema estremamente utile nella semplificazione di un'espressione booleana. In una espressione del tipo $xy+\overline{x}z+yz$ si dimostra che il termine $yz$ è ridondante e può essere eliminato semplificando l'espressione originaria in $xy+\overline{x}z$.

In modo intuitivo possiamo comprendere il teorema osservando che, in una serie di tre somme, per essere rilevante ai fini del risultato dovremmo avere $yz=1$. In tal caso avremmo anche $y=1$ e $z=1$, pertanto uno qualsiasi dei due termini $xy$ e $\overline{x}z$ deve valere $1$, sia che valga $\overline{x}=1$ oppure valga $x=1$. Osserviamo come essendo sufficiente un prodotto uguale ad $1$ per ottenere $1$ come risultato dell'intera somma, non sarebbe influente il prodotto $yz$.

Teorema del consenso

$xy+\overline{x}z+yz=xy+\overline{x}z$

Dimostrazione

La prova del teorema è molto semplice in quanto basta verificare che il primo termine a sinistra dell'uguaglianza è equivalente al secondo.

$\begin{array}{cc}xy+\overline{x}z+yz& =xy+\overline{x}z+yz(x+\overline{x})\\ & =xy+\overline{x}z+xyz+\overline{x}yz\\ & =xy+xyz+\overline{x}z+\overline{x}yz\\ & =xy(1+z)+\overline{x}z(1+y)\\ & =xy(1)+\overline{x}z(1)\\ & =xy+\overline{x}z\\ \end{array}$

Il termine ridondante $yz$ è detto termine di consenso e rappresenta il consenso dei termini $xy$ e $\overline{x}z$. In generale, dati due termini in cui una variabile compare in un termine e il complemento della stessa variabile compare nell'altro, il termine di consenso è formato dal prodotto dei due termini in questione eliminando da essi la variabile e il suo complemento.

Ad esempio il consenso di $xyz$ e $\overline{y}wz$ è $(xz)(wz)=xwz$.

Forma duale del teorema del consenso

$(x+y)(\bar{x}+z)(y+z)=(x+y)(\bar{x}+z)$