Tempo di arresto

Nella teoria della probabilità, in particolare nello studio dei processi stocastici, un tempo di arresto, conosciuto anche come tempo di Markov, è uno specifico tipo di "tempo casuale", il cui valore dipende solo dagli eventi successi prima o nell'istante stesso. Ad esso può essere associato una regola di arresto, ovvero una regola per definire il tempo d'arresto.

Uno dei risultati più importanti sui tempi di arresto è il teorema di arresto opzionale di Doob.

Definizione

Rispetto a una sequenza di variabili aleatorie $X_1,X_2,\dots$ un tempo di arresto $T$ è una variabile aleatoria con la proprietà che per ogni $t$ l'evento $\{T=t\}$ dipende solo dalle variabili $X_1,X_2,\dots ,X_t$.

Una definizione più generale può essere data attraverso le filtrazioni: sia $I$ un insieme ordinato (ad esempio $I=\mathbb{N}$ oppure $I=[0,+\mathrm{\infty })$) e sia $(\mathrm{\Omega },ℱ,{ℱ}_t,\mathbb{P})$ uno spazio di probabilità con filtrazione ${ℱ}_t$. Allora una variabile casuale $T$ su $\mathrm{\Omega }$ è detta tempo di arresto se $\{T\le t\}\in {ℱ}_t$ per ogni t in $I$.

In altre parole, è possibile decidere se l'evento $\{T\le t\}$ è accaduto conoscendo gli eventi in ${ℱ}_t$: si dice che $\{T\le t\}$ è ${ℱ}_t$-misurabile.

La definizione può anche richiedere che $P\{T<\mathrm{\infty }\}=1$, ovvero che $T$ sia quasi certamente finito, ma in alcuni casi questa condizione viene omessa.

Proprietà

Sono equivalenti i seguenti fatti:

1. $T$ è un tempo di arresto
2. l'evento $\{T=t\}\in {ℱ}_t,\mathrm{\forall }t\in I$
3. l'evento $\{T>t\}\in {ℱ}_t,\mathrm{\forall }t\in I$

Dimostrazione

(1) implica (3) e (3) implica (1)

L'evento $\{T>t\}$ è pari al complementare di $\{T\le t\}$per ogni $t$ appartenente a $I$, ossia $\{T>t\}=\{T\le t{\}}^c,\mathrm{\forall }t\in I$.

(1) implica (2)

Dato che $T$ è un tempo di arresto si ha che $\{T=t\}=\{\begin{array}{c}\{T\le t\}\text{ se }t=\min (I)\\ \{T\le t\}-\{T\le t-1\}\text{ altrimenti}\end{array}$

(2) implica (1)

L'evento $\{T\le t\}$ può essere visto come l'unione di tutti gli eventi $\{T=s\}$ per ogni $s\le t$, ossia $\{T\le t\}=\bigcup _{s\in I,s\le t}\{T=s\}$. Considerando che $\{T=s\}$ appartiene a ${ℱ}_s$ e ${ℱ}_s$ appartiene a ${ℱ}_t$, in quanto $s\le t$, si può dedurre che tutta l'unione degli eventi appartiene a ${ℱ}_t$.

Istante aleatorio

Se $T$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione $ℱ=({ℱ}_{𝓉}{)}_{t\in I}$ si può definire l'evento $\{T=+\mathrm{\infty }\}$ come l'intersezione di tutti gli eventi $\{T>t\}$, per ogni $t$, ossia $\{T=+\mathrm{\infty }\}=\bigcap _{t\in I}\{T>t\}$. Per la proprietà (1) dei tempi di arresto si ha che l'evento $\{T>t\}$ appartiene a ${ℱ}_t$ e quindi l'intersezione su tutti i $t$ appartiene all'or logico su tutta la filtrazione, ossia $\underset{t\in I}{\bigvee }{ℱ}_t$, data dalla $\sigma$-algebra generata dall'unione della filtrazione. Pertanto si definisce la tribù ${ℱ}_{\mathrm{\infty }}=\sigma \left(\bigcup _{t\in I}{ℱ}_t\right)=\underset{t\in I}{\bigvee }{ℱ}_t$ con $I=\mathbb{N}$.

Si definisce la tribù ${ℱ}_T=\{A\in {ℱ}_{\mathrm{\infty }}:A\cap \{T=t\}\in {ℱ}_t,\mathrm{\forall }t\in I\}$, che rappresenta l'informazione disponibile ad ogni tempo $t$. Se $(X_t{)}_{t\in I}$ è un processo stocastico reale e $T$ una variabile aleatoria discreta dallo spazio $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ a valori in $I\cup \{+\mathrm{\infty }\}$è possibile definire la variabile aleatoria reale $X_T$, che assume il valore del processo all'istante aleatorio $T$, come la somma di tutte le $X_t$ quando $\{T=t\}$ più un valore $x\in ℝ$ quando $\{T=+\mathrm{\infty }\}$, ossia $X_T=\sum _{t\in I}{X}_t{\mathrm{I}}_{\{T=t\}}+x{\mathrm{I}}_{\{T=+\mathrm{\infty }\}}$, dove ${\mathrm{I}}_E$ è la funzione indicatrice dell'evento $E$.

Criterio di misurabilità ad un istante aleatorio

Se il processo $(X_t{)}_{t\in I}$ è adattato alla filtrazione $ℱ=({ℱ}_{𝓉}{)}_{t\in I}$ e $T$ è un tempo di arresto rispetto a $ℱ$, allora il valore del processo all'istante aleatorio $T$ è ${ℱ}_T$-misurabile. In altre parole la variabile aleatoria $X_T$ è misurabile rispetto alla tribù ${ℱ}_T$.

Dimostrazione

Per definizione di valore ad un istante aleatorio si ha che $X_T=\sum _{t\in I}{X}_t{\mathrm{I}}_{\{T=t\}}+x{\mathrm{I}}_{\{T=+\mathrm{\infty }\}}$. Dato che $(X_t{)}_t$ è adattato rispetto a $ℱ$ si ha che ogni $X_t$ è ${ℱ}_t$-misurabile. Essendo $T$ un tempo di arresto anche la funzione indicatrice dell'evento $\{T=t\}$ è ${ℱ}_t$-misurabile, mentre la funzione indicatrice dell'evento $\{T=+\mathrm{\infty }\}$ è misurabile rispetto alla tribù ${ℱ}_{\mathrm{\infty }}$. Pertanto tutta la somma è misurabile rispetto a ${ℱ}_{\mathrm{\infty }}$ e quindi per ogni $B\in ℬ(ℝ)\Rightarrow \{X_T\in B\}\in {ℱ}_{\mathrm{\infty }}$. In altre parole per ogni boreliano $ℬ$ della retta reale, l'evento che il valore del processo arrestato al tempo aleatorio $T$ appartenga a $ℬ$ è misurabile rispetto a ${ℱ}_{\mathrm{\infty }}$.

L'evento $\{X_T\in B\}\cap \{T=t\}$ è pari all'evento $\{X_t\in B\}\cap \{T=t\}$, in quanto $T=t$. Avendo che $\{X_t\in B\}\in {ℱ}_t$ in quanto il processo $(X_t{)}_{t\in I}$ è adattato rispetto alla filtrazione e $\{T=t\}\in {ℱ}_t$ in quanto $T$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione, anche l'evento intersezione è ${ℱ}_t$-misurabile.

Pertanto $\{X_t\in B\}\cap \{T=t\}\in {ℱ}_t⟹\{X_T\in B\}\in {ℱ}_T$, ossia $X_T$ è ${ℱ}_T$-misurabile.

Processo stocastico arrestato ad un tempo aleatorio

Se $X=(X_t{)}_{t\in I}$ è un processo stocastico reale adattato ad una filtrazione $ℱ=({ℱ}_{𝓉}{)}_{t\in I}$ e $T$ è un tempo di arresto rispetto a $ℱ$, si chiama il processo arrestato al tempo $T$, il processo così definito: $X^{|T}=(X_{T\wedge t}{)}_{t\in I}$ , dove $X_{T\wedge t}=\{\begin{array}{c}{X}_t\text{ se }T>t\\ X_T\text{ se }T\le t\end{array}$

Il processo arrestato ad un istante aleatorio assume quindi gli stessi valori del processo stocastico originario, per tutti gli istanti inferiori al tempo di arresto, mentre per gli istanti maggiori è pari al valore del processo al tempo di arresto.

Esempio

Dato un processo $X=(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,\dots ,X_n,X_{n+1},X_{n+2},\dots )$e un tempo di arresto $T=5$, il processo relativo arrestato $X^{|T}$ è definito dai valori delle variabili aleatorie di $X$ negli istanti da $1$ a $5$, mentre dall'istante $6$ in poi assume sempre il valore di $X_5$.

$X^{|T}=(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_5,X_5,\dots ,X_5,X_5,\dots )$

Misurabilità di un processo arrestato

Dato che $X^{|T}$ è un processo derivato da $X=(X_t{)}_{t\in I}$ e $X$ è adattato rispetto alla filtrazione $ℱ=({ℱ}_{𝓉}{)}_{t\in I}$, anche $X^{|T}$ è misurabile rispetto a $ℱ$. Infatti $X_{T\wedge t}$ sono misurabili rispetto a ${ℱ}_{T\wedge t}$, per ogni $t\in I$ e la tribù ${ℱ}_{T\wedge t}$ è più piccola o al più uguale a quella di ${ℱ}_t$ in quanto $T\wedge t\le t$. Quindi anche $X^{|T}$ è adattato rispetto a $ℱ$.

Esempi

Se consideriamo il caso di due persone che giocano a testa e croce, vincendo o perdendo 1 euro (passeggiata aleatoria simmetrica su $\mathbb{Z}$) e con un capitale finito, si possono definire le seguenti regole di arresto:

• Fermarsi dopo una giocata o un certo numero di giocate, ovvero nel caso in cui $\tau$ sia un tempo deterministico, è una regola d'arresto.
• Fermarsi quando uno dei due finisce i soldi è una regola di arresto.
• Fermarsi quando uno raggiunge il massimo di vincite non è una regola di arresto, siccome presuppone di conoscere anche le scommesse successive.
• Fermarsi quando uno raddoppia il proprio capitale, se si richiede che il tempo di arresto sia quasi certamente finito, non è una regola di arresto, in quanto c'è una probabilità positiva che questo non accada.

Bibliografia

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