Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali

Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni razionali. $C$ denota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a una specificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Per altri integrali vedi Integrale § Tavole di integrali.

$\int (ax+b{)}^n\mathrm{d}x=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C\text{(per }n\ne -1\text{)}$

$\int x^{n-1}(a{x}^n+b{)}^c\mathrm{d}x=\frac{(a{x}^n+b{)}^{c+1}}{na(c+1)}+C\text{(per }n\ne 0\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{ax+b}=\frac{x}{a}-\frac{b}{a^2}\log |ax+b|+C$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{(ax+b{)}^2}=\frac{b}{a^2(ax+b)}+\frac{1}{a^2}\log |ax+b|+C$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{(ax+b{)}^n}=\frac{a(1-n)x-b}{a^2(n-1)(n-2)(ax+b{)}^{n-1}}+C\text{(per }n\in ̸\{1,2\}\text{)}$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{ax+b}=\frac{1}{a^3}[\frac{(ax+b{)}^2}{2}-2b(ax+b)+b^2\log |ax+b|]+C$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{(ax+b{)}^2}=\frac{1}{a^3}(ax+b-2b\log |ax+b|-\frac{b^2}{ax+b})+C$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{(ax+b{)}^3}=\frac{1}{a^3}[\log |ax+b|+\frac{2b}{ax+b}-\frac{b^2}{2(ax+b{)}^2}]+C$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{(ax+b{)}^n}=\frac{1}{a^3}[-\frac{1}{(n-3)(ax+b{)}^{n-3}}+\frac{2b}{(n-2)(a+b{)}^{n-2}}-\frac{b^2}{(n-1)(ax+b{)}^{n-1}}]+C\text{(per }n\in ̸\{1,2,3\}\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x(ax+b)}=-\frac{1}{b}\log \left|\frac{ax+b}{x}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2(ax+b)}=-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^2}\log \left|\frac{ax+b}{x}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2(ax+b{)}^2}=-a[\frac{1}{b^2(ax+b)}+\frac{1}{a{b}^{2}x}-\frac{2}{b^3}\log \left|\frac{ax+b}{x}\right|]+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=-\frac{1}{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\log \frac{a-x}{a+x}+C\text{(per }|x|<|a|\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=-\frac{1}{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\log \frac{x-a}{x+a}+C\text{(per }|x|>|a|\text{)}$

---

Nelle formule che seguono si intende che sia $a\ne 0$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\text{(per }4ac-b^2>0\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}=-\frac{2}{2ax+b}+C\text{(per }4ac-b^2=0\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}=-\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}=\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\log \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C\text{(per }4ac-b^2<0\text{)}$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}$

$\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{m}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\text{(per }4ac-b^2>0\text{)}$

$\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{m}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C\text{(per }4ac-b^2<0\text{)}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}=\frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int \frac{\mathrm{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}=-\frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int \frac{\mathrm{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x(a{x}^2+bx+c)}=\frac{1}{2c}\log \left|\frac{x^2}{a{x}^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}$

---

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}[\arctan (\sqrt{2}x+1)+\arctan (\sqrt{2}x-1)]+\frac{1}{4\sqrt{2}}[\log |x^2+\sqrt{2}x+1|-\log |x^2-\sqrt{2}x+1|]+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^{2^n}+1}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\{\frac{1}{2^{n-1}}\sin \frac{(2k-1)\pi }{2^n}\cdot \arctan [(x-\cos \frac{(2k-1)\pi }{2^n})\csc \frac{(2k-1)\pi }{2^n}]-\frac{1}{2^n}\cos \frac{(2k-1)\pi }{2^n}\cdot \log |x^2-2x\cos \frac{(2k-1)\pi }{2^n}+1|\}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^n+1}=x_2{F}_1(1,\frac{1}{n};1+\frac{1}{n};-x^n)+C$

dove ${}_p{F}_q(a_1,\dots ,a_p;b_1,\dots ,b_q;z)$ indica la serie ipergeometrica.

Di ogni funzione razionale si riesce a trovare l'integrale indefinito decomponendola in una somma di funzioni della forma

$\frac{ex+f}{{(a{x}^2+bx+c)}^n}$

e applicando ai diversi addendi qualcuna delle formule precedenti.

Bibliografia

• Template:Cita libro