Tabella di contingenza

Template:F Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.

Esempi

Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, per esempio:

Template:Separatore diagonale	biondi	non biondi	Totale
chiari	21	19	40
non chiari	9	51	60
Totale	30	70	100

in cui, tra le 100 persone esaminate, 30 hanno capelli biondi, 40 hanno occhi chiari, e 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella.

Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, ad esempio in base al valore assunto dall'indice di contingenza quadratico ${\chi }^2$ (di Pearson).

Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con $X$ e $Y$, e rispettivamente con $x_i(i=1,2,\dots ,h)$ e $y_j(j=1,2,\dots ,k)$ le modalità rilevate per le due variabili, a ogni coppia $(x_i,y_j)$ si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata $n_{i,j}$, cioè il numero di elementi, tra gli $n$ della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità $x_i$ di $X$ e $y_j$ di $Y$.

Template:Separatore diagonale	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_j$	$\dots$	$y_k$	Totale
$x_1$	$n_{1,1}$	$n_{1,2}$	$\dots$	$n_{1,j}$	$\dots$	$n_{1,k}$	$n_{1,\cdot }$
$x_2$	$n_{2,1}$	$n_{2,2}$	$\dots$	$n_{2,j}$	$\dots$	$n_{2,k}$	$n_{2,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_i$	$n_{i,1}$	$n_{i,2}$	$\dots$	$n_{i,j}$	$\dots$	$n_{i,k}$	$n_{i,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$
$x_h$	$n_{h,1}$	$n_{h,2}$	$\dots$	$n_{h,j}$	$\dots$	$n_{h,k}$	$n_{h,\cdot }$
Totale	$n_{\cdot ,1}$	$n_{\cdot ,2}$	$\dots$	$n_{\cdot ,j}$	$\dots$	$n_{\cdot ,k}$	$n$

dove

• $n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^k{n}_{i,j}(i=1,2,\dots ,h)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $X$,
• $n_{\cdot ,j}=\sum _{i=1}^h{n}_{i,j}(j=1,2,\dots ,k)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $Y$.

Sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità $n$ della popolazione:

$\sum _{i=1}^h\sum _{j=1}^k{n}_{i,j}=\sum _{i=1}^h{n}_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^k{n}_{\cdot ,j}=n$

Dalle frequenze assolute $n_{i,j}$ si ottengono le frequenze relative $f_{i,j}$ calcolando

$f_{i,j}=\left(\frac{n_{i,j}}{n}\right)$

Template:Separatore diagonale	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_j$	$\dots$	$y_k$	Totale
$x_1$	$f_{1,1}$	$f_{1,2}$	$\dots$	$f_{1,j}$	$\dots$	$f_{1,k}$	$f_{1,\cdot }$
$x_2$	$f_{2,1}$	$f_{2,2}$	$\dots$	$f_{2,j}$	$\dots$	$f_{2,k}$	$f_{2,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_i$	$f_{i,1}$	$f_{i,2}$	$\dots$	$f_{i,j}$	$\dots$	$f_{i,k}$	$f_{i,\cdot }$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\ddots$	$\dots$	$\dots$
$x_h$	$f_{h,1}$	$f_{h,2}$	$\dots$	$f_{h,j}$	$\dots$	$f_{h,k}$	$f_{h,\cdot }$
Totale	$f_{\cdot ,1}$	$f_{\cdot ,2}$	$\dots$	$f_{\cdot ,j}$	$\dots$	$f_{\cdot ,k}$	$1$

Collegamenti esterni

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