Superficie di Enneper

Superficie Enneper

File:Surface d'Enneper.stl In matematica, nel campo della geometria differenziale e in geometria algebrica, la superficie di Enneper è una superficie che può essere descritta in forma parametrica da:

$x=u(1-u^2/3+v^2)/3,$

$y=-v(1-v^2/3+u^2)/3,$

$z=(u^2-v^2)/3.$

È stata introdotta da Alfred Enneper in connessione con la Teoria delle superfici minime.

I metodi di implicitizzazione della geometria algebrica possono essere utilizzati per dimostrare che i punti appartenenti alla superficie di Enneper soddisfano la seguente equazione polinomiale di nono grado

$64z^9-128z^7+64z^5-702x^2{y}^2{z}^3-18x^2{y}^{2}z+144(y^2{z}^6-x^2{z}^6)$

$+162(y^4{z}^2-x^4{z}^2)+27(y^6-x^6)+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^2{z}^3+y^2{z}^3)$$-432(x^2{z}^5+y^2{z}^5)+81(x^4{y}^2-x^2{y}^4)+240(y^2{z}^4-x^2{z}^4)-135(x^4{z}^3+y^4{z}^3)=0.$

Dualmente, il piano tangente nel punto con parametri dati è $a+bx+cy+dz=0,$ dove:

$a=-(u^2-v^2)(1+u^2/3+v^2/3),$

$b=6u,$

$c=6v,$

$d=-3(1-u^2-v^2).$

I suoi coefficienti soddisfano l'equazione polinomiale implicita di 6º grado:

$162a^2{b}^2{c}^2+6b^2{c}^2{d}^2-4(b^6+c^6)+54(a{b}^{4}d-a{c}^{4}d)+81(a^2{b}^4+a^2{c}^4)$

$+4(b^4{c}^2+b^2{c}^4)-3(b^4{d}^2+c^4{d}^2)+36(a{b}^2{d}^3-a{c}^2{d}^3)=0.$

Lo jacobiano, la Curvatura gaussiana e la Curvatura media sono date da:

$J=(1+u^2+v^2{)}^4/81,$

$K=-(4/9)/J,$

$H=0.$ La curvatura totale è $-4\pi$. Osserman dimostrò che una superficie minima completa in ${ℝ}^3$ con curvatura totale $-4\pi$ è una catenoide oppure una superficie di Enneper. Un'altra proprietà è che tutte le superfici di Bézier bicubiche minimali sono, a meno di trasformazioni affini, pezzi della superficie di Enneper. Usando la parametrizzazione di Weierstrass-Enneper $f(z)=1,g(z)=z^k$, per un intero $k>1$, si può generalizzare la superficie di Enneper ad ordini maggiori di simmetrie rotazionali. Inoltre, si può generalizzare la superficie in dimensioni maggiori. Si è dimostrata l'esistenza di superfici di Enneper in ${ℝ}^n$ per $n\le 7$.

Codice Octave

È possibile avere un'immagine con Octave:

function enneper
  u = linspace(-10,10,30); % divide l'intervallo
  v = linspace(-10,10,30);

  [U,V] = meshgrid(u,v);

  x = U.*(1-(U.^2)/3 + V.^2)/3;
  y = -V.*(1-(V.^2)/3 + U.^2)/3;
  z = (U.^2-V.^2)/3;

  axis("equal");
  mesh(x,y,z);
  axis off; % toglie gli assi

endfunction

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