Stella di piani

Template:F In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.

Equazione della stella di piani

L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado $h$ e $k$; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.

$a(h,k)x+b(h,k)y+c(h,k)z+d(h,k)=0$.

È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri $k$ in modo da separare l'equazione come segue:

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1+h(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2)+k(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_3)=0$;

i tre piani:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Pi }}_1:& a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0\\ {\mathrm{\Pi }}_2:& a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0\\ {\mathrm{\Pi }}_3:& a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_3=0\end{array}$

sono detti generatori della stella.

Il piano ${\mathrm{\Pi }}_1$ si ottiene per $h=k=0$, mentre ${\mathrm{\Pi }}_2$ e ${\mathrm{\Pi }}_3$, pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di $h$ e $k$.

A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:

• i tre piani si incontrano in un unico punto $P$; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per $P$;

• i piani sono tutti paralleli ad una retta $r$ (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a $r$;

• i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.

Combinazione lineare di piani

La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:

$\lambda (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1)+\mu (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2)+\nu (a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_3)=0$,

dove $\lambda$, $\mu$ e $\nu$ sono tre parametri reali non tutti nulli.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna $(\lambda ,\mu ,\nu )$ con lo stesso rapporto $\lambda :\mu :\nu$ individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, $\nu \ne 0$, possiamo utilizzare i due parametri $h=\frac{\lambda }{\nu }$ e $k=\frac{\mu }{\nu }$ per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo $[\lambda ,\mu ,\nu ]\in {\mathbb{P}}^2$.

Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani

• fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
• sezionando una stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.

Voci correlate

• Fascio di piani
• Stella di rette
• Fascio di rette
• Coordinate omogenee