Spirale archimedea

Un esempio quotidiano di spirale di Archimede è una corda arrotolata per terra, dove ogni spira ha la medesima larghezza

Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del matematico Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari $(r,\theta )$ dalla seguente equazione:

$r(\theta )=a+b\theta ,$

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo. La modifica del parametro $a$ ruota la spirale, mentre $b$ controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a $2\pi b$ se $\theta$ è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per $\theta >-a/b$ e uno per $\theta <-a/b$. I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto a un opportuno asse.

Talvolta l'espressione «spirale di Archimede» è usato per un gruppo più generale di spirali:

$r(\theta )=a+b{\theta }^{1/x}.$

La normale spirale archimedea si ottiene per $x=1$. Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica ($x=-1$), la spirale di Fermat ($x=2$), e il lituo ($x=-2$). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

Equazione parametrica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro $\theta$ in $[-\frac{a}{b},+\mathrm{\infty })$, è data da

$\{\begin{array}{c}x(\theta )=(a+b\theta )\cos \theta \\ y(\theta )=(a+b\theta )\sin \theta ,\end{array}$

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo.

Curiosità

Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede (si veda la figura a lato). Si tracci la retta $s$ normale al raggio $AH$ del primo cerchio di centro $A$ e passante per l'origine della spirale. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in $H$ che interseca la retta $s$ in un punto che chiamiamo $F.$ Archimede dimostra che il segmento $FA$ è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio $AH$. Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

Voci correlate

• Archimede
• Sulle spirali
• Spirale iperbolica
• Spirale di Fermat
• Spirale logaritmica

Collegamenti esterni

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