Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

$E_s=\Vert 𝐬{\Vert }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^2(t)dt$

dove $s(t)$ è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

$\Vert {𝐬}_1+{𝐬}_2{\Vert }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{[{𝐬}_1+{𝐬}_2]}^{2}dt=E_{s_1}+E_{s_2}+2\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝐬}_1\cdot {𝐬}_{2}dt$

dove il termine $2\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝐬}_1\cdot {𝐬}_{2}dt$ è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è $[V^2\cdot s/\mathrm{\Omega }]$, se invece è una corrente elettrica allora $[A^2\cdot s/\mathrm{\Omega }]$.

Spettro di potenza

Template:Vedi anche Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

$u(t)\cdot v(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)v(t)dt$

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

$u(t)\cdot v(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)v(t)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)dt\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}V(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

dove $V(\omega ),U(\omega )$ sono gli spettri dei segnali $v(t),u(t)$ rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

$u(t)\cdot v(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}V(\omega )d\omega \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)e^{i\omega t}dt$

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di $\omega$, allora:

$u(t)\cdot v(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}V(\omega )U^{*}(\omega )d\omega$

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

$|u(t){|}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|U(\omega ){|}^{2}d\omega$

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineare

Template:Vedi anche In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:

$E=|u_{out}{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{out}(\omega )S_{out}^{*}(\omega )d\omega$

Se ricordiamo che:

$S_{out}(\omega )=k(i\omega )S_{in}(\omega )$

dove $k(i\omega )$ è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

$E=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|k(i\omega ){|}^2{S}_{in}(\omega )S_{in}^{*}(\omega )d\omega$

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

$k_p(\omega )=|k(i\omega ){|}^2=\frac{W_{out}(\omega )}{W_{in}(\omega )}$

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza $W(\omega )=S(\omega )S^{*}(\omega )$.

Voci correlate

• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Trasformata di Fourier
• Sistema dinamico lineare