Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

Definizione

Uno spazio topologico $X$ è paracompatto se ogni ricoprimento aperto $ℱ$ di $X$ ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto $𝒢$ di $X$ tale che:

• ogni $G\in 𝒢$ è contenuto in un elemento di $ℱ$;
• ogni $x\in X$ ammette un intorno $U_x$ che interseca solo un numero finito di elementi di $𝒢$.

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che $X$ sia uno spazio di Hausdorff.

Esempi

• Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
• Gli aperti e i chiusi di ${ℝ}^n$ sono paracompatti.
• Ogni varietà topologica è paracompatta.
• Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
• L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
• Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.

Proprietà

• Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
• Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
• Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
• L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.

Bibliografia

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Voci correlate

• Partizione dell'unità
• Spazio compatto

Collegamenti esterni

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