Solido di rotazione

Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse $n$ una regione piana $K$, sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezoidi

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con $x$ in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|a\le x\le b\wedge 0\le \sqrt{y^2+z^2}\le f(x)\},$

dove $a$ e $b$ sono due valori reali con $a<b$, la funzione $\rho =\rho (y,z)=\sqrt{y^2+z^2}$ è il raggio del cilindro di asse $x$ e la funzione $f:[a,b]\to ℝ$ è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano $xy$.

Volume e superficie

Template:Vedi anche Il volume $V$ del solido $T$ si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo" $dx$ lungo l'asse $x$ (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a $x$ ha volume uguale all'area del cerchio di raggio $f(x)$ moltiplicata per lo spessore $dx$. Quindi sommando i vari contributi infinitesimi $dx$ (ovvero integrando) si ha

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi f(x{)}^{2}dx.$

La superficie è invece data da:

$A=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx.$

Se il solido è dato da

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|a\le x\le b\wedge 0\le g(x)\le \sqrt{y^2+z^2}\le f(x)\},$

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi (f(x{)}^2-g(x{)}^2)dx.$

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse $y$, con $a>0$, si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse $y$, raggio $x$ e altezza $f(x)$. Quindi sommando rispetto a $dx$ (cioè integrando), si ha:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx.$

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)-g(x)|dx.$

Voci correlate

• Cilindroide
• Integrale multiplo
• Teoria della misura

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni