Slerp

Slerp (contrazione di spherical linear interpolation) è una formula per l'interpolazione di rotazioni tale che l'interpolante abbia velocità angolare costante. Introdotta nel 1985 da Ken Shoemake, slerp è comunemente usata in animazione digitale e computer grafica.

Formulazione

L'idea alla base di slerp si basa sul fatto che il gruppo di Lie delle rotazioni $SO(3)$ condivide la stessa metrica della sfera rappresentante il gruppo dei quaternioni unitari (comunemente usati per parametrizzare rotazioni nello spazio tridimensionale). L'interpolazione di rotazioni a velocità costante può essere perciò ottenuta interpolando sulla superficie della sfera (le cui geodetiche sono i cerchi massimi). Slerp tra due quaternioni unitari ${𝐪}_0$ e ${𝐪}_1$ (ovvero tali che $|{𝐪}_0|=|{𝐪}_1|=1$) con parametro di interpolazione $t\in [0,1]$ può essere definita come

$\mathrm{slerp}(t|{𝐪}_0,{𝐪}_1)={𝐪}_0{\left({𝐪}_0^{-1}{𝐪}_1\right)}^t$.

Glenn Devis introdusse una formulazione alternativa, solitamente più conveniente in applicazioni pratiche

$\mathrm{slerp}(t|{𝐪}_0,{𝐪}_1)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{𝐪}_0+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{𝐪}_1$

dove $\theta ={\cos }^{-1}\left({𝐪}_0{𝐪}_1\right)$.

Bibliografia

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