Sequenza di Sturm

Template:F Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo $(a,b)$, dove $a$ e/o $b$ possono essere infiniti, una sequenza di polinomi

$f_1(x),f_2(x)...f_n(x)$

tale che

• $f_n(x)$ non si annulla mai su $(a,b)$
• Per ogni zero di $f_k(x)$ con $k=2,3...n-1$ si ha $f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0$

Il nome deriva dal matematico Jacques Charles François Sturm.

Teorema

Per $a<x<b$ definiamo la funzione $V(x)$ come il numero di volte che i termini della sequenza $f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)$ cambiano segno, ignorando gli zeri. Se $a$ è finita allora definiamo $V(a)$ come $V(a+\epsilon )$ dove $\epsilon$ è tale che $f_i(x)\ne 0$ per $i=1,2...n$ e per ogni $x\in (a,a+\epsilon )$ e definiamo analogamente $V(b)$. Se $a=-\mathrm{\infty }$ allora definiamo $V(a)$ come il numero di volte che i termini della sequenza $\{\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_i(x)\}$ cambiano segno, e analogamente definiamo $V(b)$.

È possibile esprimere il teorema:

Sia ${\{f_i(x)\}}_{i=1,2...n}$ una sequenza di Sturm sull'intervallo $(a,b)$ allora se né $f_1(a)$ e né $f_1(b)$ è uguale a zero,

$I_a^b\frac{f_2(x)}{f_1(x)}=V(a)-V(b)$

dove si è usato l'indice di Cauchy.

Dimostrazione

Consideriamo $x$ spostarsi sull'asse dei reali, il valore di $V(x)$ non cambia quando $x$ attraversa uno zero di $f_k(x)$ con $k=2,3...n$ a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi $V(x)$ cambia solo quando $x$ attraversa uno zero di $f_1(x)$. Se $x_0$ è uno zero di $f_1(x)$ allora non è uno zero di $f_2(x)$ sempre a causa della seconda proprietà, per cui $f_2(x)$ ha lo stesso segno sia alla destra di $x_0$ che alla sinistra.

Se $x_0$ ha molteplicità pari allora $f_1(x)$ non cambia di segno quando $x$ attraversa $x_0$ e di conseguenza $V(x)$ non cambia, invece se $x_0$ ha molteplicità dispari allora $V(x)$ aumenta di 1 se $f_1(x)$ e $f_2(x)$ hanno lo stesso segno alla sinistra di $x_0$, viceversa $V(x)$ diminuisce di 1 se $f_1(x)$ e $f_2(x)$ hanno segno opposto alla sinistra di $x_0$. In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se $f_1(x)$ e $f_2(x)$ hanno lo stesso segno alla sinistra di $x_0$, o un contributo +1 se $f_1(x)$ e $f_2(x)$ hanno segno opposto alla sinistra di $x_0$. Template:Polinomi speciali Template:Portale