Sequenza di Farey

In matematica, la sequenza di Farey $F_n$ è una sequenza, per ogni numero naturale positivo $n$, definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e $n$. Ad esempio

$F_1=\{\frac{0}{1};\frac{1}{1}\}$

$F_2=\{\frac{0}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{1}\}$

$F_3=\{\frac{0}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{1}{1}\}$

$F_4=\{\frac{0}{1};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{1}{1}\}$

$F_5=\{\frac{0}{1};\frac{1}{5};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{2}{5};\frac{1}{2};\frac{3}{5};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{1}{1}\}$

Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.

Proprietà

• Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni $n>1$, e il termine centrale è sempre $\frac{1}{2}$.

• Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale $\frac{1}{2}$: per ogni termine $\frac{n}{d}$ della sequenza ne esiste anche uno pari a $\frac{d-n}{d}$

• Dati due termini consecutivi di una sequenza $\frac{p_i}{q_i},\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$ abbiamo che

$p_{i+1}\cdot q_i-p_i\cdot q_{i+1}=1$

• Dati tre termini consecutivi di una sequenza $\frac{p_{i-1}}{q_{i-1}},\frac{p_i}{q_i},\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$ abbiamo che

$\frac{p_i}{q_i}=\frac{(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}$

Di conseguenza, data la successione $F_n$, il primo termine a comparire tra due generici $\frac{a}{c}$ e $\frac{b}{d}$in una sequenza $F_m$, con $m>n$, è la frazione mediana

$\frac{a+b}{c+d}$

• Definito come $N(n)$ il numero di termini della sequenza di Farey $F_n$, abbiamo che

$N(n)=1+\sum _{k=1}^n\varphi (k)$

Dove $\varphi (k)$ è la funzione phi di Eulero.

Voci correlate

• John Farey
• Frazione (matematica)

Collegamenti esterni

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