Semigruppo di contrazione

Template:O In analisi matematica, un semigruppo $C_0$ $\mathrm{\Gamma }(t),t\ge 0$ è detto semigruppo di contrazione se $\Vert \mathrm{\Gamma }(t)\Vert \le 1$ per ogni $t\ge 0$. $\mathrm{\Gamma }(t)$ sarà invece detto semigruppo di quasicontrazione se esiste una costante $\omega$ tale che $\Vert \mathrm{\Gamma }(t)\Vert \le e^{\omega t}$ per ogni $t\ge 0$.

Esempio 1: Semigruppo di moltiplicazione

Sia $(X,\mathrm{\Sigma },m)$ uno spazio di misura $\sigma$-finito. Considerando una funzione $\phi :X\to [0,\mathrm{\infty })$, si definisca l'operatore $S(t)$ su $L^1=L^1(X,\mathrm{\Sigma },m)$ come $S(t)f(x)=e^{-t\phi (x)}f(x).$ Si avrà:

$\Vert S(t)f\Vert =\underset{X}{\int }|e^{-t\phi (x)}f(x)|m(dx)\le \underset{X}{\int }|f(x)|m(dx)=\Vert f\Vert$

per ogni $f\in L^1$ e $t\ge 0$. Pertanto $\{S(t){\}}_{t\ge 0}$ è un semigruppo su $L^1$. Dal teorema della convergenza dominata segue che

$\underset{t\downarrow 0}{\lim }\Vert S(t)f-f\Vert =\underset{X}{\int }\underset{t\downarrow 0}{\lim }|e^{-t\phi (x)}f(x)-f(x)|m(dx)=0$

per ogni $f\in L^1$, dunque $\{S(t){\}}_{t\ge 0}$ è un semigruppo fortemente continuo, nonché contrattivo.

Esempio 2: Semigruppo di traslazione

Sia $X$ lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su $ℝ$, $L^1(ℝ)$. Si definisce l'operatore di traslazione $S(t)$ su $X$ come $S(t)f(x)=f(x-t),x\in ℝ,t\ge 0.$

$\{S(t){\}}_{t\ge 0}$ è un semigruppo su $X$ e, per ogni $f\in X=L^1(ℝ)$, si ha

$\Vert S(t)f\Vert =\underset{ℝ}{\int }|f(x-t)|dx=\underset{ℝ}{\int }|f(x)|dx=\Vert f\Vert .$

Dunque $\{S(t){\}}_{t\ge 0}$ è un semigruppo contrattivo su $L^1(ℝ)$.

Bibliografia

• Template:En Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503
• Template:En Rudnicky, Ryszard; Tyran-Kamińska, Marta. Piecewise Deterministic Processes in Biological Models. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-61295-9

Voci correlate

• Teorema di Hille-Yosida
• Teorema di Lumer-Phillips
• Contrazione