Segmento iniziale

Template:F In matematica si definisce segmento iniziale (o taglio iniziale, o sottoinsieme chiuso verso il basso) di un dato insieme totalmente ordinato $(X,<)$ un qualsiasi suo sottoinsieme $Y$ tale che:

$b\in Y\Rightarrow \mathrm{\forall }a\in X(a<b\Rightarrow a\in Y)$

Il nome deriva abbastanza naturalmente dalla "forma" che un tale insieme ha: segmento perché non ha "buchi" - se $a,b$ sono in $Y$, ogni elemento tra $a$ e $b$ sarà in $Y$ - iniziale perché contiene gli elementi di $X$ più piccoli.

Casi particolari di segmenti iniziali di un insieme $X$ sono $X$ stesso e l'insieme vuoto.

Simmetricamente, si definisce un segmento finale (o taglio finale, o sottoinsieme chiuso verso l'alto) mediante la proprietà

$b\in Y\Rightarrow \mathrm{\forall }a\in X(b<a\Rightarrow a\in Y)$

Gli insiemi degli interi negativi e positivi sono rispettivamente un segmento iniziale e un segmento finale di $\mathbb{Z}$

Utilizzo e proprietà

Il segmento iniziale è un oggetto matematico piuttosto utilizzato in alcuni settori della logica.

• I tagli di Dedekind, tipicamente utilizzati per costruire i numeri reali, sono segmenti iniziali (e in realtà tutti i segmenti iniziali) di $\mathbb{Q}$.

• I segmenti iniziali vengono utilizzati in varie dimostrazioni riguardanti i buoni ordini. Infatti:
  • in generale l'unione di ordini non è un ordine
  • l'unione di ordini che sono a due a due inclusi l'uno nell'altro è un ordine, ma se gli ordini sono buoni ordini, il risultato della loro unione non è necessariamente un buon ordine (basti pensare ai sottoinsiemi di $\mathbb{Z}$ della forma $[-n,n]$, ognuno dei quali è bene ordinato ma la cui unione è $\mathbb{Z}$)
  • l'unione di buoni ordini che sono a due a due segmento iniziale l'uno dell'altro invece è un buon ordine