Score (statistica)

In statistica, il termine score indica il gradiente (il vettore delle derivate parziali) del logaritmo della funzione di verosimiglianza.

In termini formali, data l'osservazione $X$ con funzione di verosimiglianza $L(\theta ;X)$, lo score $V$ è dato da:

$V=\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)=\frac{1}{L(\theta ;X)}\frac{\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }.$

$V$ è una funzione di $\theta$ (i parametri da stimare) e $X$ (le osservazioni).

Proprietà

Media

Sotto alcune condizioni di regolarità, il valore atteso di $V$ rispetto all'osservazione x condizionato a $\theta$, ovvero $𝔼(V|\theta )$, è nullo.

Riscrivendo la funzione di veromiglianza come funzione di densità ($L(\theta ;x)=f(x;\theta )$), si ha infatti:

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(x;\theta ))f(x;\theta )dx=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}f(x;\theta )dx$

da cui, semplificando otteniamo:

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }dx=\frac{\partial }{\partial \theta }\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;\theta )dx=\frac{\partial }{\partial \theta }1=0.$

Varianza

La varianza dello score è l'informazione di Fisher: $ℐ(\theta )$.

Poiché il valore atteso dello score è nullo, la varianza dello score è data da:

$ℐ(\theta )=𝔼\left\{{[\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)]}^2|\theta \right\}.$

Voci correlate

• Informazione di Fisher

Collegamenti esterni

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