Regolatore lineare quadratico

Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo $J(x,u)$ funzione dello stato $x(t)$ e del controllo $u(t)$.

$\min J=\frac{1}{2}{x}_f^T{S}_f{x}_f+\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)d\tau$,

con $S_f$ e $Q$ matrici simmetriche e semi definite positive e $R$ simmetrica e definita positiva.

Validità ipotesi iniziali

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:

$x^{T}Kx=2\frac{1}{2}{x}^{T}Kx+\frac{1}{2}{x}^T{K}^{T}x-\frac{1}{2}{x}^T{K}^{T}x=\frac{1}{2}{x}^T(K+K^T)x+\frac{1}{2}{x}^T(K-K^T)x=\frac{1}{2}{x}^T(K+K^T)x$

La matrice $K+K^T$ è simmetrica mentre $K-K^T$ risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.

La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per $u$ infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo $u_{ott}(t)$ sia unico.

Teorema: esistenza soluzione

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione $u_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}(t)$ del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo $J(x,u)$.

Teorema: esistenza soluzione stabilizzante

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto $u_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}(t)$ è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito

• controllo

$u_{ott}(t)=-K_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}(t)x(t)$

• controllore in retroazione dallo stato

$K_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}(t)=R^{-1}{B}^{T}P(t)$

• DRE la cui soluzione fornisce P(t)

$-\frac{dP(t)}{dt}=A^{T}P(t)+P(t)A+Q-P(t)B{R}^{-1}{B}^{T}P(t)$

Tempo infinito

• controllo

$u_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}(t)=-K_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}x(t)$

• controllore in retroazione dallo stato

$K_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}=R^{-1}{B}^{T}P$

• ARE la cui soluzione fornisce P

$[0]=A^{T}P+PA+Q-PB{R}^{-1}{B}^{T}P$

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito ($t_f$→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce $J(x,u)$. L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice $K_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}}$ costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

Teorema: robustezza intrinseca

Controllo automatico

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂$P_0$ relative al processo nominale $P_0$ con upperbound costante in frequenza e pari a $l_m=0.5$. In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita $U_0$ prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

Bibliografia

• Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
• Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004
• K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
• P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

Voci correlate

• Filtro di Kalman
• Loop transfer recovery (LTR)
• Controllo lineare quadratico gaussiano (LQG)
• Controllo ottimo
• Teorema di Masreliez
• Controllo robusto
• Prestazione di sensibilità