Regola di Sarrus

In matematica, in particolare in algebra lineare, la regola di Sarrus è un metodo mnemonico per ricordare la formula del determinante di una matrice quadrata $3\times 3$. Prende il nome dal matematico francese Pierre Frederic Sarrus.

La regola di Sarrus non si estende a matrici di ordine maggiore.

La regola

Calcolo del determinante di una matrice $3\times 3$ tramite un metodo equivalente alla regola di Sarrus.

La regola di Sarrus è un caso particolare di questa formula del determinante:

$\det (A):=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

Nella formula, $S_n$ è l'insieme di tutte le permutazioni $\sigma$ dell'insieme numerico $\{1,2,\dots ,n\}$ e $\mathrm{sgn}(\sigma )$ denota il segno della permutazione ($+1$ se $\sigma$ è una permutazione pari, $-1$ se è dispari).

In particolare:

• Se $n=3$, si ottiene:

$\det (A):=a_{1,1}{a}_{2,2}{a}_{3,3}+a_{1,3}{a}_{2,1}{a}_{3,2}+a_{1,2}{a}_{2,3}{a}_{3,1}-a_{1,3}{a}_{2,2}{a}_{3,1}-a_{1,1}{a}_{2,3}{a}_{3,2}-a_{1,2}{a}_{2,1}{a}_{3,3}$

Visto più semplicemente: Il determinante

$\det \left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb,$

può essere espresso tramite somme e differenze dei prodotti dei termini sulle 6 "diagonali continue" della matrice.

Ripetendo infatti a destra della matrice le sue prime due colonne

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\\ g& h\end{array}$

i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono rispettivamente $aei$, $bfg$ e $cdh$, mentre i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) sono $gec$, $hfa$ e $idb$. Il determinante della matrice è pari alla differenza tra la somma dei primi tre e quella degli ultimi tre:

$aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb$

Mnemonicamente e computazionalmente può essere utile notare che, utilizzando le prime nove lettere dell'alfabeto, gli elementi sulla diagonale sono vocali mentre tutti gli altri sono consonanti, tale controllo è un'utile riprova, soprattutto quando si utilizza tale regola per costruire un polinomio caratteristico.

Bibliografia

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Voci correlate

• Determinante
• Sviluppo di Laplace
• Matrice

Collegamenti esterni

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