Rappresentazione di Heisenberg

Werner Karl Heisenberg

In fisica, la rappresentazione di Heisenberg è una formulazione della meccanica quantistica in cui gli operatori (osservabili e altri) sono dipendenti dal tempo, mentre gli stati quantici ne sono indipendenti. Questa formulazione contrasta con la rappresentazione di Schrödinger nella quale gli operatori sono costanti e gli stati evolvono nel tempo. I due modelli differiscono solo per un cambio di base rispetto alla dipendenza temporale. La rappresentazione di Heisenberg è la formulazione della meccanica delle matrici in una base arbitraria, nella quale l'operatore hamiltoniano non è necessariamente diagonale.

Dettagli matematici

Nella rappresentazione di Heisenberg della meccanica quantistica lo stato quantico $|\psi ⟩$ non cambia con il tempo, mentre un'osservabile A è tale da soddisfare

$\frac{d}{dt}{A}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[H,A_H(t)]+{\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)}_H$

dove H è un operatore hamiltoniano e [·,·] è un commutatore di H e A_H. In qualche senso, la rappresentazione di Heisenberg è più naturale e fondamentale di quella di Schrödinger, specialmente per quanto riguarda le teorie relativistiche.

Quest'approccio ha una similarità nella fisica classica: sostituendo il commutatore della formula con le parentesi di Poisson, l'equazione di Heisenberg diviene una formulazione generale dell'equazione Hamiltoniana.

Per il teorema di Stone-von Neumann, la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schrödinger sono unitariamente equivalenti.

Derivazione dell'equazione di Heisenberg

Il valore atteso di un osservabile A (che è un operatore lineare hermitiano) per uno stato $|\psi (t)⟩$ è dato da:

$⟨A⟩(t)=⟨\psi (t)|A|\psi (t)⟩$

Dall'equazione di Schrödinger

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$,

dove H è un operatore hamiltoniano indipendente dal tempo ed ħ è la costante di Planck divisa per 2·π, segue:

$⟨A⟩(t)=⟨\psi (0)|e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩,$

Definendo,

$A_H(t):=e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }.$

segue (differenziando seguendo la regola di Leibniz):

$\frac{d}{dt}{A}_H(t)=\frac{i}{\hslash }H{e}^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }+{\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)}_H+\frac{i}{\hslash }{e}^{iHt/\hslash }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hslash }$

Si noti che $\frac{\partial A}{\partial t}$ è la derivata parziale rispetto al tempo di A e non di A(t).

$=\frac{i}{\hslash }{e}^{iHt/\hslash }(HA-AH)e^{-iHt/\hslash }+{\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)}_H=\frac{i}{\hslash }(H{A}_H(t)-A_H(t)H)+{\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)}_H$

L'ultimo passaggio è valido in quanto $e^{-iHt/\hslash }$ commuta con H. Da questa relazione si ha l'equazione di Heisenberg:

$\frac{d}{dt}{A}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[H,A_H(t)]+{\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)}_H$,

dove [X, Y] è il commutatore dei due operatori ed è definito come [X, Y] := XY − YX.

Relazioni dei commutatori

Naturalmente, le relazioni che esplicitano i commutatori sono differenti dalla rappresentazione di Schrödinger a causa della dipendenza del tempo degli operatori. Ad esempio, si considerino gli operatori $x(t_1),x(t_2),p(t_1)$ e $p(t_2)$. L'evoluzione temporale di questi operatori dipende dall'operatore hamiltoniano del sistema. Per l'oscillatore armonico monodimensionale si ha:

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}$

L'evoluzione degli operatori di posizione e momento è data da:

$\frac{d}{dt}x(t)=\frac{i}{\hslash }[H,x(t)]=\frac{p}{m}$

$\frac{d}{dt}p(t)=\frac{i}{\hslash }[H,p(t)]=-m{\omega }^{2}x$

Risolvendo rispetto alle seguenti condizioni iniziali:

$\dot{p}(0)=-m{\omega }^2{x}_0$

$\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}$

si ha:

$x(t)=x_0\cos (\omega t)+\frac{p_0}{\omega m}\sin (\omega t)$

$p(t)=p_0\cos (\omega t)-m\omega x_0\sin (\omega t)$

Ora si possono esplicitare i commutatori:

$[x(t_1),x(t_2)]=\frac{i\hslash }{m\omega }\sin (\omega t_2-\omega t_1)$

$[p(t_1),p(t_2)]=i\hslash m\omega \sin (\omega t_2-\omega t_1)$

$[x(t_1),p(t_2)]=i\hslash \cos (\omega t_2-\omega t_1)$

Per $t_1=t_2$, si ottengono le relazioni di commutazione canoniche $(0;0;i\hslash )$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Notazione bra-ket
• Rappresentazione di Dirac
• Werner Karl Heisenberg

Collegamenti esterni

• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Cliccare sul link per il capitolo 2 per trovare un'estensiva e semplificata introduzione alla rappresentazione di Heisenberg.