Rapporto di verosimiglianza

Template:Nota disambigua Template:S In statistica il test del rapporto di verosimiglianza è un test che confronta la bontà di adattamento di due modelli, tipicamente un modello alternativo rispetto al modello nullo, basandosi sulle funzioni di verosimiglianza.

Ipotesi semplici

Template:Vedi anche Il test di verosimiglianza prende il nome dal fatto che valuta la verosimiglianza di un’ipotesi. Per verosimiglianza si intende la probabilità che un’ipotesi sia vera, considerando i risultati osservati. È importante non confondere la verosimiglianza con la probabilità: se un fenomeno può essere spiegato da molte cause, ciascuna può essere verosimile, ma ciò non implica che sia probabile. La verosimiglianza è, quindi, un'analisi condotta a posteriori, non un giudizio a priori.

Indicando come variabile $\theta$ le condizioni che stiamo cercando allora in un sistema di ipotesi semplici viene rappresentato come segue:

$\begin{array}{ccc}{H}_0& :& \theta ={\theta }_0\\ H_1& :& \theta ={\theta }_1\end{array}$

Ovvero le due ipotesi sul fenomeno $H_0$ e $H_1$ ipotizzando due condizioni differenti di partenza e su queste viene calcolata la funzione di rapporto di verosomiglianza

$\mathrm{\Lambda }(x)=\frac{ℒ({\theta }_0\mid x)}{ℒ({\theta }_1\mid x)}$

L'espressione $ℒ({\theta }_0\mid x)$ indica una funzione di verosomiglianza condizionata. Ovvero risponde alla domanda "Quanto era probabile ottenere $x$ come lo abbiamo ottenuto ipotizzando che $\theta ={\theta }_0$ ?". Il rapporto tra le due funzioni di verosimiglianza ci dice dunque quanto l'ipotesi zero è più verosimile dell'ipotesi uno. Solitamente viene scelta una soglia di rapporto oltre la quale si considera un'ipotesi predominate e sotto la quale non si può invece stabilire con certezza.

Esempio

Mettiamo di sapere che da un lancio di due dadi è uscito come totale 8. Però non ci viene rivelato se i due dadi erano dadi classici a sei facce, oppure dadi a quattro facce.

Allora il nostro sistema di potesi è il seguente:

$H_0:$ I dadi sono a sei facce

$H_1:$ I dadi sono a quattro facce

$x:$ Il totale è 8

$ℒ({\theta }_0\mid x)=\frac{5}{36}$ poiché ci sono 5 modi $([2,6],[6,2],[3,5],[5,3],[4,4])$ su 36 per ottenere otto con due dadi da 6 facce

$ℒ({\theta }_1\mid x)=\frac{1}{16}$ poiché c'è un solo modo $([4,4])$ su 16 per ottenere otto con due dadi da 4 facce

$\mathrm{\Lambda }(x)=\frac{ℒ({\theta }_0\mid x)}{ℒ({\theta }_1\mid x)}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{16}}=\frac{20}{9}\sim 2,22$

Dunque l'ipotesi che i dadi abbiano 6 facce è il doppio verosimile rispetto all'ipotesi che abbiano quattro facce.

Voci correlate

• Funzione di verosimiglianza
• Probabilità condizionata
• Teorema di Bayes
• Test di verifica d'ipotesi