Raggio di iniettività

Template:F In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.

Definizione

Sia $M$ una varietà riemanniana. Per ogni punto $x$ di $M$ è definita la mappa esponenziale

${\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}_x:U\to M$

su un insieme aperto $U$ dello spazio tangente $T_{x}M$ in $x$, contenente l'origine.

Sullo spazio tangente $T_{x}M$ è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio $R$ centrata nell'origine

$B_R=\{v\in T_{x}M||v|<R\}.$

Il raggio di iniettività di $M$ in $x$ è il massimo $R$ tale che la mappa

${\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}_x{|}_{B_R}:B_R\to M$

è iniettiva. Viene spesso indicato con

$R={\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}_x$

Il raggio di iniettività di $M$ è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}(M)=\underset{x\in M}{\inf }\left\{{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}_x\right\}.$

Proprietà

Raggio locale positivo

Il differenziale di ${\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}_x$ è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività ${\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}_x$ è quindi strettamente positivo in ogni punto $x$.

Geodetiche

Se la varietà è completa, il raggio di iniettività ${\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}}_x$ è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per $x$.

Compattezza e raggio globale

Se la varietà $M$ è compatta, il raggio di iniettività globale $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}(M)$ è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}(M)$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Mappa esponenziale
• Funzione iniettiva
• Geometria differenziale
• Varietà riemanniana
• Diffeomorfismo locale