Quantizzazione del momento angolare

La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.

Definizione del momento angolare

In meccanica quantistica il momento angolare è un'osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo $\overrightarrow{L}$.

In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$

dove $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{p}$ sono rispettivamente il vettore posizione e quantità di moto o momento lineare. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times (-i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})$

da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:

$L_x=-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})$

$L_y=-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})$

$L_z=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$

Osserviamo immediatamente che $L_x,L_y,L_z$ sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio $y$ e $p_x$, commutano).

Algebra degli operatori di momento angolare

1.In generale vale la relazione

$[L_i,L_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{L}_k$

dove ${\epsilon }_{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita. Dimostriamo tale relazione nel seguente caso particolare:

$[L_x,L_y]=[(y{p}_z-z{p}_y),(z{p}_x-x{p}_z)]=$

$=[y{p}_z,z{p}_x]-[y{p}_z,x{p}_z]-[z{p}_y,z{p}_x]+[z{p}_y,x{p}_z]=$

$=[y{p}_z,z{p}_x]+[z{p}_y,x{p}_z]=$

$=y{p}_x[p_z,z]+p_{y}x[z,p_z]=$

$=-i\hslash y{p}_x+i\hslash p_{y}x=$

$=i\hslash (x{p}_y-y{p}_x)=i\hslash L_z$

2.Vale inoltre:

$[L^2,L_i]=0$

dove l'indice i può essere x, y oppure z. Dimostriamo il caso particolare

$[L^2,L_z]=0$

infatti:

$[{L_x}^2+{L_y}^2+{L_z}^2,L_z]=[{L_x}^2+{L_y}^2,L_z]=$

$[{L_x}^2,L_z]+[{L_y}^2,L_z]={L_x}^2{L}_z-L_z{L_x}^2+{L_y}^2{L}_z-L_z{L_y}^2=$

Sommiamo e sottraiamo:$L_x{L}_z{L}_x$ e $L_y{L}_z{L}_y$

${L_x}^2{L}_z-L_x{L}_z{L}_x+L_x{L}_z{L}_x+{L_y}^2{L}_z-L_z{L_x}^2-L_y{L}_z{L}_y+L_y{L}_z{L}_y-L_z{L_y}^2=$

$L_x(L_x{L}_z-L_z{L}_x)+(L_x{L}_z-L_z{L}_x)L_x+L_y(L_y{L}_z-L_z{L}_y)+(L_y{L}_z-L_z{L}_y)L_y=$

$L_x[L_x,L_z]+[L_x,L_z]L_x+L_y[L_y,L_z]+[L_y,L_z]L_y=$

$L_x(-i\hslash L_y)+(-i\hslash L_y)L_x+L_y(i\hslash L_x)+(i\hslash L_x)L_y=0$

Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.

Da 2. si conclude che gli operatori $L^2$ e $L_z$ diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.

Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica

Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Si cercano dunque gli autoket simultanei degli operatori $L^2$ e $L_z$.

$L^2|\lambda m⟩=\lambda {\hslash }^2|\lambda m⟩$

$L_z|\lambda m⟩=m\hslash |\lambda m⟩$

Operatori scala

Si introducono a questo punto dei nuovi operatori, detti operatori scala:

$L_{+}=L_x+i{L}_y{L}_{-}=L_x-i{L}_y$

1. $L^2$ commuta sia con $L_x$ che con $L_y$ e quindi commuta anche con $L_{\pm }$;
2. Se $|\lambda m⟩$ è un autovettore di $L^2$ appartenente all'autovalore $\lambda {\hslash }^2$, $L_{+}|\lambda m⟩$ e $L_{-}|\lambda m⟩$ sono autovettori appartenenti allo stesso autovalore $\lambda {\hslash }^2$:

$L^2{L}_{+}|\lambda m⟩=\lambda {\hslash }^2{L}_{+}|\lambda m⟩$

$L^2{L}_{-}|\lambda m⟩=\lambda {\hslash }^2{L}_{-}|\lambda m⟩$

1. $L_{+}|\lambda m⟩$ è anche autovettore di $L_z$ ma appartenente all'autovalore $(m+1)\hslash$, così come $L_{-}|\lambda m⟩$ appartiene all'autovalore $(m-1)\hslash$:

$L_z{L}_{+}|\lambda m⟩=(m+1)\hslash L_{+}|\lambda m⟩$

$L_z{L}_{-}|\lambda m⟩=(m-1)\hslash L_{-}|\lambda m⟩$

Calcolo degli autovalori

$L^2|\lambda m⟩=\lambda {\hslash }^2|\lambda m⟩$ e ${L_z}^2|\lambda m⟩=m^2{\hslash }^2|\lambda m⟩$

$(L^2-{L_z}^2)|\lambda m⟩=(\lambda -m^2){\hslash }^2|\lambda m⟩$

$({L_x}^2+{L_y}^2)|\lambda m⟩=(\lambda -m^2){\hslash }^2|\lambda m⟩$

$\frac{1}{2}(L_{+}{L}_{-}+L_{-}{L}_{+})|\lambda m⟩=(\lambda -m^2){\hslash }^2|\lambda m⟩$

$\frac{1}{2}⟨\lambda m|(L_{+}{L}_{-}+L_{-}{L}_{+})|\lambda m⟩=(\lambda -m^2){\hslash }^2$

Da cui segue che:

$-\sqrt{\lambda }<m<\sqrt{\lambda }$

cioè m è limitato sia inferiormente che superiormente.

Con l'uso degli operatori a scala è facile trovare i valori massimo e minimo di m, risolvendo:

$L_{-}{L}_{+}|\lambda m_{max}⟩=0$

$L_{+}{L}_{-}|\lambda m_{min}⟩=0$

Si ottengono così le relazioni fondamentali

$m_{max}=-m_{min}=\frac{n}{2}=j$

$\lambda =j(j+1)$

dove n è un intero qualsiasi e dunque j può assumere qualsiasi valore intero o semintero.

Conclusioni

Le equazioni agli autovalori sono così risolte

$L^2|jm⟩=j(j+1){\hslash }^2|jm⟩$

$L_z|jm⟩=m\hslash |jm⟩$

e si è ottenuto il risultato fondamentale della quantizzazione del momento angolare. Inoltre si è scoperto che la teoria quantistica ammette valori di j e di m seminteri: vedi spin.

Voci correlate

• Quantizzazione spaziale