Punto di diramazione

Template:F In analisi complessa, un punto di diramazione (o di ramificazione) di una funzione polidroma (o multifunzione) è un punto del dominio in cui la funzione è discontinua se ristretta a una curva che gira attorno al punto in un intorno arbitrariamente piccolo del punto. Le funzioni polidrome sono studiate rigorosamente con le superfici di Riemann, e la definizione formale di punto di diramazione usa questo concetto.

Tagli

Grosso modo, i punti di diramazione sono i punti nei quali i vari rami della multifunzione si incontrano. Per esempio, la funzione radice quadrata ha due rami: uno con il segno positivo, e uno con il negativo. Un taglio è una curva nel piano complesso tale che è possibile definire un singolo ramo analitico di una multifunzione nel piano senza quella curva. I tagli sono solitamente, ma non sempre, fatti tra coppie di punti di diramazione.

I tagli permettono di lavorare con un insieme di funzioni a valore singolo "incollate" insieme lungo i tagli, invece che con una multifunzione.

Per esempio, per rendere la funzione $f(z)=\sqrt{z}\sqrt{1-z}$ a valore singolo, si fa un taglio lungo l'intervallo $[0,1]$ dell'asse reale, che connette i due punti di diramazione della funzione.

La stessa idea può essere applicata alla funzione radice quadrata $f(z)=\sqrt{z},$ ma in questo caso si considera il "punto all'infinito" come "secondo punto di diramazione" da congiungere con $0;$ questo si può fare prendendo come taglio il semiasse reale negativo.

La tecnica dei tagli sembra arbitraria (e lo è), ma è molto utile, ad esempio nella teoria delle funzioni speciali. Una spiegazione invariante dei tagli è sviluppata nella teoria delle superfici di Riemann.

Logaritmo complesso

Grafico della parte polidroma immaginaria della funzione logaritmo complesso, dove si vedono i rami. Mentre un numero complesso z gira intorno all'origine, la parte immaginaria del logaritmo va su e giù. Questo rende l'origine un punto di diramazione della funzione.

Un noto esempio di multifunzione è il logaritmo di un numero complesso. Un numero complesso z è esprimibile, con la formula di Eulero come $|z|e^{i\theta }$dove |z| è il modulo di z, e θ è l'argomento di z. Allora:

$\log (z)=\log (|z|e^{i\theta })=\log (|z|)+i\theta$

C'è ambiguità nella definizione dell'angolo θ, perché se sommiamo a θ un qualsiasi multiplo intero di 2π si ottiene un altro angolo, cioè un altro valore della funzione. Un ramo del logaritmo è una funzione continua che dà il logaritmo di z per ogni z in un insieme aperto connesso nel piano complesso.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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