Pseudo-inversa

Template:S In matematica, e in particolare in algebra lineare, la matrice pseudo-inversa, o pseudo-inversa di Moore-Penrose, di una matrice data $A$ si indica con $A^{+}$ ed è la generalizzazione della matrice inversa al caso in cui $A$ non sia quadrata.

La matrice pseudo-inversa interviene nella soluzione del problema dei minimi quadrati.

Definizione

Data la matrice $A$ di dimensioni $n\times m$, una matrice $A^{+}$ di dimensioni $m\times n$ è detta pseudo-inversa di $A$ se verifica le seguenti quattro proprietà:

• $A{A}^{+}A=A,$
• $A^{+}A{A}^{+}=A^{+},$
• $(A{A}^{+}{)}^T=A{A}^{+},$
• $(A^{+}A{)}^T=A^{+}A.$

Data una matrice $A$, esiste un'unica matrice pseudo-inversa che verifica le precedenti proprietà.

Se la matrice $A$ ha rango massimo, esiste una semplice espressione algebrica per determinare la pseudo-inversa. In particolare, data la matrice $A$ di dimensioni $n\times m$ con $n\ge m$ e rango $m$, la matrice pseudo-inversa di $A$ è la matrice

$A^{+}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T,$

ed è un'inversa sinistra, cioè

$A^{+}A=I,$

dove $I$ è la matrice identità. Invece, se $A$ è di dimensioni $n\times m$ con $n\le m$ e rango $n$, la matrice pseudo-inversa è la seguente

$A^{+}=A^T(A{A}^T{)}^{-1},$

ed è un'inversa destra, cioè

$A{A}^{+}=I.$

Formula generale

Sia $A\in {ℝ}^{n\times m}$ una matrice reale di rango $r\le \min \{n,m\}$. Utilizzando la decomposizione ai valori singolari (SVD) della matrice $A$, si ha

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T$

dove $U\in {ℝ}^{n\times n}$, $\mathrm{\Sigma }\in {ℝ}^{n\times m}$, $V\in {ℝ}^{m\times m}$. Le matrici $U,V$ sono matrici unitarie; inoltre, in generale, non sono uniche. Invece, la matrice $\mathrm{\Sigma }$ è unica, è una matrice rettangolare diagonale e contiene tutti i valori singolari della matrice $A$ sulla sua diagonale principale, ordinati in ordine decrescente: ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \dots \ge {\sigma }_r>0$. Con tale formulazione, segue che la pseudo-inversa della matrice iniziale è data da

$A^{+}=V{\mathrm{\Sigma }}^{+}{U}^T$

dove ${\mathrm{\Sigma }}^{+}\in {ℝ}^{m\times n}$ (pseudo-inversa di $\mathrm{\Sigma }$) è esplicitamente calcolabile prendendo la trasposta di $\mathrm{\Sigma }$ e sostituendo ai valori singolari non nulli, ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r$, il loro reciproco. La dimostrazione della validità della formula segue per calcolo diretto.

Inoltre, utilizzando la riscrittura data dalla SVD, si può verificare che:

$A{A}^{+}=U\left[\begin{array}{cc}{I}_{r\times r}& 0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(n-r)\times r}& 0_{(n-r)\times (n-r)}\end{array}\right]U^T$

ed analogamente

$A^{+}A=V\left[\begin{array}{cc}{I}_{r\times r}& 0_{r\times (m-r)}\\ 0_{(m-r)\times r}& 0_{(m-r)\times (m-r)}\end{array}\right]V^T$.

Tutte le formule precedenti valgono anche nel caso di matrici complesse, a patto di sostituire il trasposto con il trasposto coniugato.

Proprietà

• La pseudo-inversa della pseudo-inversa è la matrice iniziale: $(A^{+}{)}^{+}=A$.
• Se $A$ è quadrata con rango massimo allora la pseudo-inversa coincide con la matrice inversa standard: $A^{+}=A^{-1}$.
• La pseudo-inversa della trasposta è la trasposta della pseudo-inversa: $(A^{+}{)}^T=(A^T{)}^{+}$.

Voci correlate

• Matrice
• Matrice invertibile

Collegamenti esterni

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