Proiettività

Template:S In geometria proiettiva, una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo.

In geometria descrittiva è definita come una corrispondenza tra punti dello spazio euclideo, ottenuta per composizione di prospettività, ovvero tramite una successione finita di proiezioni rispetto ad un centro e sezioni con un piano. Un esempio di proiettività è l'omologia, ottenuta come composizione di due prospettività tra gli stessi due piani.

Geometria proiettiva

In geometria proiettiva, una proiettività non è altro che una trasformazione di punti dello spazio proiettivo. Ad esempio, sulla retta proiettiva ${\mathbb{P}}^1$, la trasformazione assume la forma:

$\{\begin{array}{c}\rho x{\text{'}}_0=a_{00}{x}_0+a_{01}{x}_1\\ \rho x{\text{'}}_1=a_{10}{x}_0+a_{11}{x}_1\end{array}$

dove $(x_0:x_1)$ e $(x{\prime }_0:x{\prime }_1)$ sono due punti della retta proiettiva, ρ è un parametro reale diverso da 0, e a₀₀, a₀₁, a₁₀, a₁₁ sono quattro parametri reali tali che a₀₀a₁₁ – a₁₀a₀₁ è non nullo (altrimenti la trasformazione non sarebbe biunivoca). La presenza del fattore ρ è dovuta al fatto che le coordinate proiettive (x₀ : x₁) sono date a meno di un fattore moltiplicativo reale non nullo (ovvero (x₀ : x₁) = (ρx₀ : ρx₁).

In coordinate affini, l'equazione della proiettività diventa:

$x^{\prime }=\frac{a_{00}+a_{01}x}{a_{10}+a_{11}x}$

(con x = x₁/x₀ e x' = x'₁/x'₀)

Sulla retta proiettiva, viene inoltre mantenuto il birapporto tra punti corrispondenti. In altre parole, chiamati A, B, C e D quattro punti sulla retta proiettiva e A', B', C', D' i loro trasformati, si ha che:

$(ABCD)=(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$

ovvero

$\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AD}{BD}}=\frac{\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}}{\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{B^{\prime }{D}^{\prime }}}$