Processo di Poisson composto

Template:F In calcolo delle probabilità, un processo di Poisson composto è un processo stocastico a tempo continuo su $\mathbb{N}$ che compie dei salti la cui legge è associata a quella di un processo di Poisson, ma la cui lunghezza è determinata da una certa distribuzione scelta in precedenza.

Definizione

Un processo di Poisson composto $\{Y(t):t\ge 0\}$ è un processo stocastico definito da

$Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}{D}_i$

Dove $\{N(t):t\ge 0\}$ è un processo di Poisson di parametro λ e $\{D_i:i\ge 1\}$ sono variabili aleatorie indipendenti su $\mathbb{N}$, tutte con la stessa distribuzione D indipendente da $N(t)$

Un esempio può chiarire il concetto: consideriamo il numero dei tifosi che arrivano allo stadio a bordo di autobus dedicati.

$Y(t)$ misura il numero dei tifosi pervenuti nel tempo $t$, il processo di Poisson $N(t)$ conta il numero degli autobus giunti nel tempo $t$ mentre la variabile $D_i$ è il numero dei tifosi che ogni autobus trasporta.

La quantità di tifosi trasportati da ogni autobus e il numero di autobus che arrivano sono variabili indipendenti, ciascuna con la propria distribuzione (che per il numero di autobus è la distribuzione di Poisson).

Proprietà

• Il valore atteso del processo è dato da

$𝔼(Y(t))=\lambda t𝔼(D)$

• La varianza del processo è data da

$\mathrm{Var}(Y(t))=\lambda t𝔼(D^2)$

• La funzione generatrice dei momenti è data da

$𝔼(e^{sY})=e^{\lambda t(M_D(s)-1)}$

dove $M_D(s)$ è la funzione generatrice dei momenti di D

Voci correlate

• Processo di Poisson
• Distribuzione di Poisson