Processo di Lévy

In teoria della probabilità, un processo di Lévy (dal matematico francese Paul Lévy) è un processo stocastico con incrementi stazionari e indipendenti: rappresenta il moto di un punto i cui movimenti successivi siano indipendenti e siano identicamente distribuiti su intervalli di tempo della stessa lunghezza. Può essere visto come una versione continua della passeggiata aleatoria.

I processi di Levy più conosciuti sono il processo di Poisson e il moto browniano. Tutti i processi di Lévy sono anche processi additivi.

Definizione

Un processo stocastico $X=\{X_t:t\ge 0\}$ è detto processo di Lévy se:

• $X_0=0$ quasi certamente.
• Ha incrementi indipendenti, ovvero per ogni scelta di tempi $0\le t_1<\cdots <t_n<\mathrm{\infty }$, le variabili aleatorie $X_{t_2}-X_{t_1},X_{t_3}-X_{t_2},\dots ,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ sono indipendenti.
• Ha incrementi stazionari, ovvero per ogni scelta di $s<t$, la variabile aleatoria $X_t-X_s$ ha la stessa legge di $X_{t-s}$.

Proprietà

• Ogni processo di Lévy possiede una versione càdlàg quasi certamente.