Principio di minimo vincolo

Il principio del minimo vincolo, enunciato nel 1829 da Carl Friedrich Gauss, è un principio variazionale della meccanica razionale, ottenuto tramite metodo dei minimi quadrati, la cui formulazione è equivalente principio di d'Alembert. Esso riveste un ruolo rilevante all'interno della meccanica lagrangiana e, qualitativamente, è simile al principio di minima azione, tuttavia quest'ultimo rappresenta una condizione di tipo estremale assoluto, mentre il principio del minimo vincolo è un principio di minimo locale.

Definizione

Il principio del minimo vincolo afferma che le reali accelerazioni di un sistema meccanico formato da $n$ masse si ottengono minimizzando la seguente quantità:

$𝒵:=\sum _{j=1}^n{m}_j\cdot {|{\ddot{𝐫}}_j-\frac{{𝐅}_j}{m_j}|}^2$

dove la particella j-esima ha massa $m_j$, posizione ${𝐫}_j$ e forza applicata non vincolata ${𝐅}_j$ agente su di essa. La corrispondente accelerazione ${\ddot{𝐫}}_j$ soddisfa il vincolo imposto, che generalmente dipende dallo stato del sistema, individuato dalla coppia $\{{𝐫}_j(t),{\dot{𝐫}}_j(t)\}$.

Ciò si ricollega al fatto che quando sul sistema agiscono le forze ${𝐅}_j$, e le relative reazioni vincolari ${{𝐅}_{𝐜}}_j$, la cui risultante è $𝐑=\sum _{j=1}^n{𝐅}_j+{{𝐅}_{𝐜}}_j$, il sistema sperimenterà un'accelerazione pari a $\ddot{𝐫}=\sum _{j=1}^n\frac{{𝐅}_j}{m_j}+\frac{{{𝐅}_{𝐜}}_j}{m_j}=\sum _{j=1}^n{𝐚}_j+{{𝐚}_{𝐜}}_j$.

Principio di minima curvatura di Hertz

Il principio della minima curvatura di Hertz è un caso particolare del principio di Gauss e della formulazione di Jacobi del principio della minima azione. Esso prevede non esistano né forze esterne applicate né interazioni, le quali possono essere espresse attraverso l'energia potenziale, e che tutte le masse siano uguali. Senza perdita di generalità, le masse possono essere imposte unitarie. Con queste condizioni, la quantità minimizzata di Gauss è pari a:

$𝒵=\sum _{j=1}^n{\left|{\ddot{𝐫}}_j\right|}^2$

L'energia cinetica $T$ si conserva anche in questo caso:

$T\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\left|{\dot{𝐫}}_j\right|}^2$

Nello spazio $3n$-dimensionale $d{s}^2$ è definito come:

$d{s}^2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{j=1}^n{\left|d{𝐫}_j\right|}^2$

pertanto, la conservazione dell'energia può essere riscritta come:

${\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2=2T$

Dividendo $𝒵$ per $2T$ si ottiene un'altra quantità minimizzabile:

$K\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{j=1}^n{\left|\frac{d^2{𝐫}_j}{d{s}^2}\right|}^2$

Poiché $\sqrt{K}$ è la curvatura locale della traiettoria nello spazio $3n$-dimensionale, minimizzare $K$ equivale a trovare la traiettoria di minima curvatura, ovvero la geodetica, che rispetti i vincoli imposti.

Equazione di Udwadia-Kalaba

L'equazione di Udwadia-Kalaba, sviluppata nel 1992 da Firdaus E. Udwadia e Robert E. Kalaba, è un metodo per ricavare le equazioni del moto, basato sul principio di minimo vincolo di Gauss. Essa è in grado di generalizzare le reazioni vincolari che non obbediscono al principio di d'Alembert.

Descrizione

Si prenda un sistema con $m$ gradi di libertà e $l$ gradi di vincolo, descritto da $(q_i{)}_{i=1,\dots ,m}$ coordinate generalizzate, il cui spazio delle fasi è generato dalla coppia $(q_i,{\dot{q}}_i{)}_{i=1,\dots ,m}$. Note le condizioni iniziali $(𝐪(0),\dot{𝐪}(0))$, si ha che l'equazione di Udwadia-Kalaba è:

$𝐌(\dot{𝐪},𝐪,t)\ddot{𝐪}(t)=𝐐(\dot{𝐪},𝐪,t)+{𝐐}_c(\dot{𝐪},𝐪,t)$

dove $𝐌$ è la matrice della massa, ovvero una matrice $n\times n$ simmetrica e semidefinita positiva, mentre $𝐐$ è la somma di tutte le forze generalizzate agenti sul sistema e ${𝐐}_c$ la somma di tutte le relative reazioni vincolari.

Se la matrice $𝐌$ è definita positiva, è possibile invertirla per ricavare direttamente le accelerazioni generalizzate, inoltre si ha che:

${𝐐}_c={𝐌}^{1/2}{\left(𝐀{𝐌}^{-1/2}\right)}^{+}(𝐛-𝐀{𝐌}^{-1}𝐐)+𝐊$

dove $𝐀$ è la matrice $m\times l$ e $𝐛$ l'm-vettore, tali che l'equazione di Udwadia-Kalaba possa essere riscritta come $𝐀\ddot{𝐪}=𝐛$, mentre la notazione $+$ indica la pseudoinversa di Moore-Penrose. Il termine $𝐊$ tiene conto della presenza di vincoli non ideali, pertanto, detta $𝐈$ la matrice identità, esso è pari a:

$𝐊={𝐌}^{1/2}[𝐈-{\left(𝐀{𝐌}^{-1/2}\right)}^{+}𝐀{𝐌}^{-1/2}]{𝐌}^{-1/2}𝐂$

dove $𝐂(\dot{𝐪},𝐪,t)$ è il vettore che, generalizzando il principio di d'Alembert, tiene conto della non-idealità dei vincoli. Infatti si ha che:

$\delta W_c=𝐂\cdot \delta 𝐫$

Se $𝐌$ è semidefinita positiva, potrebbe risultare singolare. Inoltre, le accelerazioni generalizzate potrebbero non essere uniche a meno che non abbia rango completo, ovvero pari a $n$, la matrice $(l+m)\times m$

$\widehat{𝐌}=\left[\begin{array}{c}𝐌\\ 𝐀\end{array}\right]$

Ma poiché le accelerazioni osservate nei sistemi meccanici in natura sono sempre uniche, la condizione sul rango risulta necessaria e sufficiente per ottenere univocamente le accelerazioni generalizzate del sistema vincolato in ogni istante di tempo. Pertanto, quando $\widehat{𝐌}$ ha rango completo, le equazioni di movimento del sistema vincolato sono determinate in modo univoco, creando un sistema ausiliario non vincolato, attraverso la matrice ${𝐌}_{𝐀}=𝐌+{𝐀}^{+}𝐀$ e il vettore ${𝐐}_{𝐛}=𝐐+{𝐀}^{+}𝐛$, tali che

${𝐌}_{𝐀}\ddot{𝐪}={𝐐}_{𝐛}+{𝐐}_{c^{\prime }}$

dove

$\begin{array}{cc}& {𝐐}_{c^{\prime }}={𝐌}_{𝐀}^{1/2}{\left(𝐀{𝐌}_{𝐀}^{-1/2}\right)}^{+}(𝐛-𝐀{𝐌}_{𝐀}^{-1}{𝐐}_{𝐛})+{𝐊}_{𝐀}\\ & {𝐊}_{𝐀}={𝐌}_{𝐀}^{1/2}[𝐈-{\left(𝐀{𝐌}_{𝐀}^{-1/2}\right)}^{+}𝐀{𝐌}_{𝐀}^{-1/2}]{𝐌}_{𝐀}^{-1/2}𝐂\end{array}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazioni del moto di Appell

Collegamenti esterni

• Una moderna trattazione e una dimostrazione del principio di minimo vincolo
• Principio di minimo vincolo di Gauss
• Principio di minima curvatura di Hertz