Principio di fase stazionaria

In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:

$I(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)e^{ikf(x)}dx$

in cui $i=\sqrt{-1}$ e $k\to +\mathrm{\infty }$. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.

Ipotesi

• $x\in R$;
• $k$ è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
• $f$ e $g$ sono due funzioni reali, continue e lisce (cioè $C^{\mathrm{\infty }}$) $\mathrm{\forall }x\in R$;

Risultati

• Se $f(x)$ non possiede punti stazionari su $a\le x_0\le b$, integrando per parti si ottiene:

$I(k)\cong \frac{g(b)}{ik{f}^{\prime }(b)}{e}^{ikf(b)}-\frac{g(a)}{ik{f}^{\prime }(a)}{e}^{ikf(a)}$

• Se $f(x)$ è stazionario in un unico punto $a<x_0<b$

$I(k)\cong g(x_0)\sqrt{\frac{2\pi }{k\left|f^{″}(x_0)\right|}}{e}^{i[kf(x_0)\pm \frac{\pi }{4}{f}^{″}(x_0)]}$

• Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale $x_0=a$

$I(k)\cong \frac{g(b)}{ik{f}^{\prime }(b)}{e}^{ikf(b)}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi }{k|f^{″}(x_0)|}}g(x_0)e^{ikf(x_0)}{e}^{i\pm \frac{\pi }{4}}$

• Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale $x_0=b$

$I(k)\cong -\frac{g(a)}{ik{f}^{\prime }(a)}{e}^{ikf(a)}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi }{k|f^{″}(x_0)|}}g(x_0)e^{ikf(x_0)}{e}^{i\pm \frac{\pi }{4}}$

Bibliografia

• Lord Kelvin (1887) Philosophical Magazine 23 p. 252; Proceedings of the Royal Society 83 p. 80.
• Bleistein, N. and Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York.
• E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.

Voci correlate

• Metodo del punto di sella
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• M. Garbey e H. G. Kaper Asymptotic analysis: Working Note No. 2, Approximation of integrals Rapporto ANL/MCS-TM-180 (1993)