Primo teorema dell'angolo esterno

Il primo teorema dell'angolo esterno è uno dei principali teoremi della geometria euclidea.

Enunciato

In qualsiasi triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.

Dimostrazione

Dato un triangolo $ABC$ qualsiasi, di base $BC$, si prolunga il lato $BC$ ad un punto $K$ appartenente alla stessa retta. Detto $M$ il punto medio del lato $AC$, si prolunga $BM$, dalla parte di $M$, di un segmento $MN$ congruente a $BM$ e si congiunge $N$ con $C$. Poiché $N$ è interno all'angolo AĈK, si può affermare che AĈK > AĈN. Per dimostrare la tesi basta allora dimostrare che BÂC è congruente a AĈN. Si considerano i due triangoli $AMB$ e $CMN$; essi hanno:

Dimostrazione del teorema dell'angolo esterno

• $AM$ congruente a $MC$ per costruzione;
• $BM$ congruente a $MN$ per costruzione;
• $AMB$ congruente a $CMN$ perché angoli opposti al vertice.

Dunque, $AMB$ e $CMN$ sono congruenti per il primo criterio; in particolare $BAC$ è congruente a $MCN$ e quindi $BAC$ è congruente a $ACN$. Per quanto osservato all'inizio, ciò conclude la dimostrazione.

Bibliografia

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Voci correlate

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