Primo associato

In matematica e in particolare in algebra astratta, un primo associato di un modulo $M$ su un anello $R$ è un ideale primo di $R$ che è un annichilatore di un sottomodulo (primo) di $M .$ L'insieme dei primi associati di $M$ è solitamente indicato con ${Ass}_{R} (M),$

In algebra commutativa, i primi associati sono legati alla decomposizione primaria di Lasker-Noether di ideali in anelli noetheriani commutativi. Nello specifico, data la decomposizione di un ideale $J$ come intersezione finita di ideali primari, i radicali di questi ideali primari sono ideali primi e questo insieme di ideali primi coincide con ${Ass}_{R} (R / J) .$

Correlati al concetto di "primo associato" ci sono i concetti di primo isolato e primo immerso.

Definizioni

Un $R$ -modulo non nullo $N$ è detto modulo primo se ${A n n}_{R} (N) = {A n n}_{R} (N^{'})$ per ogni sottomodulo non nullo $N^{'}$ di $N .$ Per un modulo primo $N,$ l'annichilatore ${A n n}_{R} (N)$ è un ideale primo di $R .$

Un primo associato di un $R$ -modulo $M$ è un ideale della forma ${A n n}_{R} (N)$ per qualche sottomodulo primo $N$ di $M .$ In algebra commutativa la definizione usuale è differente ma equivalente: se $R$ è commutativo, un primo associato $P$ di $M$ è un ideale primo della forma ${A n n}_{R} (m)$ per qualche elemento non nullo $m$ di $M$ o, equivalentemente, $R / P$ è isomorfo a un sottomodulo di $M .$

In un anello commutativo $R,$ gli elementi minimali di ${Ass}_{R} (M)$ (rispetto alla relazione d'inclusione di insiemi) sono detti primi isolati e gli altri primi associati (cioè quelli che contengono propriamente un primo associato) sono detti primi immersi.

Un sottomodulo $N$ di $M$ è detto primario se per ogni $r \in R$ e $m \in M$ si ha che $m \notin N$ e $r m \in N$ implicano $r^{n} M \subset N$ per qualche intero positivo $n .$ Un modulo $M$ è detto coprimario se il sottomodulo $0$ è primario, cioè se per qualche elemento non nullo $m \in M$ si ha che $r m = 0$ implica $r^{n} M = 0$ per qualche intero positivo $n .$

Un modulo non nullo $M$ finitamente generato su un anello noetheriano commutativo è coprimario se e solo se ha un unico primo associato $P .$

Un sottomodulo $N$ di $M$ è detto $P$ -primario se ${Ass}_{R} (M / N) = {P} .$ Un ideale $I$ è un ideale $P$ -primario se e solo se ${Ass}_{R} (R / I) = {P} .$ Quindi questa nozione è una generalizzazione di quella di ideale primario.

Esempi

Se $R = ℂ [x, y, z, w],$ gli ideali primi associati di $I = ((x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}) \cdot (z^{3} - w^{3} - 3 x^{3}))$ sono gli ideali $(x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})$ e $(z^{3} - w^{3} - 3 x^{3}) .$
Se $R = ℤ,$ allora i gruppi abeliani liberi non banali e i gruppi abeliani non banali di ordine una potenza di un primo sono coprimari.

Bibliografia

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