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La legge di Weber-Fechner descrive la relazione tra la portata fisica di uno stimolo e la percezione umana dell'intensità di tale stimolo. La relazione tra uno stimolo e la percezione che si ha dello stesso è stata studiata inizialmente da Ernst Heinrich Weber (1795-1878), e fu in seguito elaborata sotto forma di modello teorico da Gustav Theodor Fechner (1801-1887)

L'esperimento di Weber

La scoperta della relazione esistente tra stimolo e percezione è stata fatta da Weber in seguito all'esperimento consistente nell'incrementare di una certa quantità il peso di un oggetto sostenuto da un uomo. La percezione di tale stimolo (l'incremento di peso) è risultata essere tanto meno accentuata, quanto più pesante era l'oggetto. In altre parole aggiungere 1 kg ad un oggetto il cui peso è di 5 kg risultava essere percepito in maniera differente rispetto ad aggiungere 1 kg ad un oggetto il cui peso è 30 kg.

La descrizione teorica di Fechner

Il fenomeno secondo il quale la variazione di uno stimolo è percepita in misura minore quando l'intensità di partenza di tale stimolo è elevata può essere descritto attraverso la seguente equazione differenziale:

$dp=k\frac{dS}{S}$

dove $dS$ è la variazione dell'intensità dello stimolo, $S$ è l'intensità iniziale dello stesso, $k$ è un parametro dipendente dall'unità di misura dello stimolo e $dp$ è la variazione della percezione dell'intensita dello stimolo in questione. Integrando entrambi i membri dell'equazione diffrenziale si ottiene

$\int dp=k\int \frac{dS}{S}\to p=k\ln S+C$

dove $C$ è la costante di integrazione.

È possibile determinare lo stato iniziale dello stimolo, ovvero il livello di stimolo tale che la percezione risulta nulla, ponendo $p=0$ ed ottenendo così:

$C=-k\ln S_0$

da cui risulta l'espressione formale della legge di Weber-Fechner:

$p=k\ln \frac{S}{S_0}.$

La relazione che lega l'intensità dello stimolo alla percezione che si ha di esso è quindi di tipo logaritmico. Ossia la percezione è proporzionale (secondo un fattore k) al logaritmo dello stimolo.

Talvolta si suole porre $S_0=1$ e scrivere la legge di Weber-Fechner come

$p=k\ln S.$

Ciò corrisponde al ritenere la costante di integrazione nulla ($C=0$).

Campi di Studio

Oltre che in fisica e psicologia, la legge di Weber-Fechner è stata fondamentale per elaborare il concetto economico di utilità marginale decrescente, secondo il quale l'incremento di utilità fornito da un bene è minore mano a mano che la quantità di tale bene è posseduta in misura maggiore.