Polinomio osculatore

Template:F In matematica applicata, si definisce polinomio osculatore un polinomio interpolatore che nei nodi $x_i$ (i = 1, ..., n) soddisfa alcune condizioni più restrittive in aggiunta alla semplice interpolazione di punti:

$P^{(k)}(x_i)=f^{(k)}(x_i),k\in \{0,...,l\}$

Si hanno i seguenti casi particolari:

• per $l=0$ si ha l'interpolazione di Lagrange;
• per $l=1$ si ha l'interpolazione di Hermite.

Polinomio osculatore di Hermite

Dati $n+1$ nodi $x_i$ il polinomio osculatore di Hermite è un polinomio di grado al più $2n+1$ tale che:

• $p(x_i)=f(x_i)$

• $p^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)$

per i che va da 0 a n.

Può essere rappresentato nella forma:

$p(x)=\sum _{j=0}^n{U}_j(x)f(x_j)+\sum _{j=0}^n{V}_j(x)f^{\prime }(x_j)$

dove a loro volta i polinomi $U_j(x)$e $V_j(x)$ sono funzioni dei polinomi di Lagrange:

• $U_j(x)=[1-2L{\text{'}}_j(x_j)(x-x_j)]L_j^2(x)$
• $V_j(x)=(x-x_j)L_j^2(x)$

Si può quindi facilmente verificare che:

1. I polinomi U e V hanno grado 2n + 1
2. valgono le relazioni proprie dei polinomi di Lagrange.