Polinomio di Racah

In matematica i polinomi di Racah costituiscono una famiglia di polinomi ortogonali introdotta da James Wilson nel 1978 e così chiamati in onore di Giulio Racah, in quanto le loro relazioni di ortogonalità sono equivalenti alle relazioni di ortogonalità per i coefficienti di Racah.

I polinomi di Racah si possono definire come funzioni ipergeometriche ponendo:

$p_n(x(x+\gamma +\delta +1)):={}_4{F}_3[\begin{array}{cccc}-n& n+\alpha +\beta +1& -x& x+\gamma +\delta +1\\ \alpha +1& \gamma +1& \beta +\delta +1\end{array};1]$

In parallelo ad essi Richard Askey e James Wilson hanno introdotto i polinomi q-Racah in termini di funzioni ipergeometriche basiche ponendo:$p_n(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_4{\varphi }_3[\begin{array}{cccc}{q}^{-n}& ab{q}^{n+1}& q^{-x}& q^{x+1}cd\\ aq& bdq& cq\end{array};q;q]$ Per taluni scopi risulta conveniente definirli mediante un cambiamento di variabili come

$W_n(x;a,b,c,N;q)={}_4{\varphi }_3[\begin{array}{cccc}{q}^{-n}& ab{q}^{n+1}& q^{-x}& c{q}^{x-n}\\ aq& bcq& q^{-N}\end{array};q;q]$

Bibliografia

• Richard Askey, James Wilson (1979): A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6-j symbols, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 10 (5) pp. 1008 – 1016
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