Permutazione alternata

In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione $⟨c_1,c_2,...,c_n⟩$ dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente c_i con 1<i<n ha valore compreso fra c_i − 1 e c_i + 1 .

Si osserva che per n=2,3,... la riflessa di una permutazione alternante è anch'essa una permutazione alternante: ad esempio sono permutazioni alternanti di {1,2,3,4,5} sia 34152 che 25143. Dato che una permutazione e la sua riflessa non possono coincidere, si deduce che il numero delle permutazioni alternanti di una data lunghezza è un numero pari. Denotiamo con A_n la metà del numero delle permutazioni alternanti dell'insieme {1, ..., n}.

Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante $⟨c_1,c_2,...,c_n⟩$ che inizia con una salita ($c_1<c_2$) è associata biunivocamente la permutazione alternante $⟨n+1-c_1,n+1-c_2,...,n+1-c_n⟩$ che inizia con una discesa (ed ovviamente è diversa); quindi A_n fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa).

Si trova che la funzione generatrice esponenziale della successione di tali numeri è la funzione trigonometrica:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\frac{x^n}{n!}=\sec (x)+\tan (x)=\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}).$

Si osserva che la serie formale di potenze della secante presenta solo potenze pari della variabile x, mentre la serie della tangente presenta solo potenze dispari. Quindi i numeri con indici pari A_2m sono forniti dalla serie della secante e vengono chiamati numeri secanti o numeri zig, mentre quelli con indice dispari sono forniti dalla serie della tangente e sono detti numeri tangenti o numeri zag.

I numeri A_2m sono strettamente connessi con i numeri di Eulero: $A_{2m}=|E_{4m}|$

Bibliografia

• Template:FrAndré, D. "Developments de sec x et tan x." Comptes Rendus Acad. Sci., Paris 88, 965-967, 1879.
• Template:FrAndré, D. "Memoire sur les permutations alternées." J. Math. 7, 167-184, 1881.

Collegamenti esterni

• Alternating Permutation in MathWorld