Pentagramma miracoloso

Configurazioni di esempio di pentagramma mirificum

Relazioni tra angoli e lati di cinque triangoli rettangoli adiacenti al pentagono interno. I loro cerchi di Napier contengono spostamenti circolari di parti $(a,$$\pi /2-B,$$\pi /2-c,$$\pi /2-A,$$b)$

Pentagramma miracoloso (dal latino Pentagramma mirificum) è un poligono stellato su una sfera, composto da cinque grandi archi di cerchio, i cui angoli interni sono tutti angoli retti. Questa forma è stata descritta da Nepero nel 1614 nel libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della tabella Ammirabile di logaritmi) insieme alle regole che collegano i valori delle funzioni trigonometriche di cinque parti di un triangolo sferico rettangolo (due angoli e tre lati). Le proprietà del pentagramma miracoloso furono studiate, tra gli altri, da Carl Friedrich Gauss.

Proprietà geometriche

Su una sfera, sia gli angoli che i lati di un triangolo (archi di grandi cerchi) sono misurati come angoli.

Ci sono cinque angoli retti, ciascuno di misura $\pi /2,$ a $A$, $B$, $C$, $D$, e $E.$

Ci sono dieci archi, ciascuno di misura $\pi /2:$$PC$, $PE$, $QD$, $QA$, $RE$, $RB$, $SA$, $SC$, $TB$, e $TD.$

Nel pentagono sferico $PQRST$, ogni vertice è il polo del lato opposto. Ad esempio, punto $P$ è il polo dell'equatore $RS$, punto $Q$ - il polo dell'equatore $ST$, eccetera.

Ad ogni vertice del pentagono $PQRST$, l'angolo esterno è uguale in misura al lato opposto. Per esempio, $\mathrm{\angle }APT=\mathrm{\angle }BPQ=RS,\mathrm{\angle }BQP=\mathrm{\angle }CQR=ST,$ eccetera.

I triangoli sferici di Nepero $APT$, $BQP$, $CRQ$, $DSR$, e $ETS$ sono rotazioni l'una dell'altra.

Le formule di Gauss

Gauss ha introdotto la notazione

$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=({\tan }^{2}TP,{\tan }^{2}PQ,{\tan }^{2}QR,{\tan }^{2}RS,{\tan }^{2}ST).$

Le seguenti identità valgono, consentendo la determinazione di tre qualsiasi delle quantità di cui sopra dalle due rimanenti:

$\begin{array}{cccccc}1+\alpha & =\gamma \delta & 1+\beta & =\delta \epsilon & 1+\gamma & =\alpha \epsilon \\ 1+\delta & =\alpha \beta & 1+\epsilon & =\beta \gamma .\end{array}$

Gauss ha dimostrato la seguente "bella uguaglianza" (schöne Gleichung):

$\begin{array}{cc}\alpha \beta \gamma \delta \epsilon & =3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon \\ & =\sqrt{(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\epsilon )}.\end{array}$

L'equazione è soddisfatta, ad esempio, dai numeri $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)$, il cui prodotto $\alpha \beta \gamma \delta \epsilon$ è uguale a $20$.

Dimostrazione della prima parte dell'uguaglianza:

$\begin{array}{cc}\alpha \beta \gamma \delta \epsilon & =\alpha \beta \gamma \left(\frac{1+\alpha }{\gamma }\right)\left(\frac{1+\gamma }{\alpha }\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\ & =\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\epsilon )+\alpha (1+\epsilon )\\ & =2+\alpha +\beta +\delta +\epsilon +1+\gamma \\ & =3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon \end{array}$

Prova della seconda parte dell'uguaglianza:

$\begin{array}{cc}\alpha \beta \gamma \delta \epsilon & =\sqrt{{\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2{\delta }^2{\epsilon }^2}\\ & =\sqrt{\gamma \delta \cdot \delta \epsilon \cdot \epsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }\\ & =\sqrt{(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\epsilon )}\end{array}$

Gauss ha ottenuto anche la formula

$(1+i\sqrt{{}^{{}^{}}\alpha })(1+i\sqrt{\beta })(1+i\sqrt{{}^{{}^{}}\gamma })(1+i\sqrt{\delta })(1+i\sqrt{{}^{{}^{}}\epsilon })=\alpha \beta \gamma \delta \epsilon e^{i{A}_{PQRST}},$

dove $A_{PQRST}=2\pi -(|\stackrel{⌢}{PQ}|+|\stackrel{⌢}{QR}|+|\stackrel{⌢}{RS}|+|\stackrel{⌢}{ST}|+|\stackrel{⌢}{TP}|)$ è l'area del pentagono $PQRST$.

Proiezione gnomonica

L'immagine del pentagono sferico $PQRST$ nella proiezione gnomonica (una proiezione dal centro della sfera) su qualsiasi piano tangente alla sfera forma un pentagono rettilineo. I suoi cinque vertici $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$ determinano in modo univoco una sezione conica; in questo caso - un'ellisse. Gauss ha mostrato che le altezze del pentagramma $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$ (linee che passano per i vertici e perpendicolari ai lati opposti) si incrociano in un punto $O^{\prime }$, che è l'immagine del punto di tangenza del piano alla sfera.

Arthur Cayley ha osservato che, se impostiamo l'origine di un sistema di coordinate cartesiane nel punto $O^{\prime }$, ed indicando quindi le coordinate dei vertici $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$: $(x_1,y_1),\dots ,$$(x_5,y_5)$ soddisfano le uguaglianze $x_1{x}_4+y_1{y}_4=$$x_2{x}_5+y_2{y}_5=$$x_3{x}_1+y_3{y}_1=$$x_4{x}_2+y_4{y}_2=$$x_5{x}_3+y_5{y}_3=-{\rho }^2$, dove $\rho$ è la lunghezza del raggio della sfera.

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