Paradosso della conoscibilità di Fitch

Il paradosso della conoscibilità di Fitch, anche conosciuto come paradosso della conoscibilità di Church-Fitch, dai nomi del logico Alonzo Church che lo dimostrò per primo, e di Frederic Fitch che lo riscoprì rendendolo noto, è uno dei principali rompicapi della logica epistemica. Consiste, in sostanza, nello sfidare l'accettabilità della tesi di conoscibilità (è possibile, in principio, conoscere un fatto vero), comune a diversi indirizzi di pensiero, mostrando che implicherebbe lTemplate:'onniscienza (tutti i fatti sono conosciuti, attualmente).

Il paradosso è problematico specialmente per i verificazionisti e anti-realisti, poiché tendono ad accettare la tesi di conoscibilità ma a rifiutare fortemente l'onniscienza.

Storia

Il paradosso è diventato noto con l'articolo A Logical Analysis of Some Value Concepts di Frederic B. Fitch (1908-1987), che citava una sconosciuta fonte in un articolo del 1945. L'articolo è stato individuato nel 2009 da Joe Salerno e lo si deve ad Alonzo Church.

Esposizione

La tesi del paradosso è "il principio di conoscibilità implica l'onniscienza", o equivalentemente dal punto di vista logico, "il principio di conoscibilità è incompatibile con la non onniscienza" e anche "la non onniscienza implica la falsità del principio di conoscibilità".

I passaggi logici della dimostrazione possono essere esposti colloquialmente come segue:

- Sia K l’insieme di tutte le affermazioni vere

- Ipotizziamo che tutto ciò che è vero (tutte le affermazioni in K) possa essere conosciuto

- Consideriamo x = “la frase p è una verità che non conosciamo”, e ipotizziamo sia vera

- Questo vuol dire che, per l'ipotesi al primo punto, è possibile arrivare a conoscere la frase x, e per l'ipotesi al secondo punto questa stia in K

- Ma se arrivassimo a conoscerla, allora sapremo anche che “p” è vera, contraddicendo x. Quindi x non può essere conosciuta e vera allo stesso tempo.

- Quindi x non può far parte dell’insieme K, che considera solo le frasi contemporaneamente vere e conoscibili

- Quindi tutte le frasi in K sono vere e conosciute, da cui l'onniscenza

La dimostrazione formale usa pochissime regole:

• (A) Sapere "p & q" implica "Sapere p & Sapere q", in simboli: $K(p\wedge q)⊢Kp\wedge Kq$ (distributività di K su &);
• (B) Sapere qualcosa implica che essa sia vera, (o "se una cosa è falsa non si può dire di conoscerla"), in simboli: $Kp⊢p$;
• (C) Se qualcosa è logicamente vero, allora è necessario, in simboli: $⊢p⟹⊢◻p$ (regola di necessitazione);
• (D) Se è necessario che p sia falso, allora p non è possibile, in simboli: $◻\mathrm{\neg }p\leftrightarrow \mathrm{\neg }◊p$. Questa non è una vera regola, è solo una definizione che serve per scrivere la prova in meno spazio.

Ovviamente le assunzioni sono il principio di conoscibilità (KP) e la non onniscienza (NonO).

• Premessa 1: $\mathrm{\forall }p(p\to ◊Kp)$ (KP)
• Premessa 2: $\mathrm{\exists }p(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (NonO)

Dimostrazione:

(1)

"p & non si sa che p"

$p\wedge \mathrm{\neg }Kp$ (istanza di NonO)

(2)

"p & non si sa che p" implica che "è possibile sapere che (p & non si sa che p)

$(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)\to ◊K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (da premessa 2, eliminazione di ∀)

(3)

"è possibile sapere che: p & non si sa che p"

$◊K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (da 1, 2 via Modus Ponens)

(4)

"si sa che: p & non si sa che p"

$K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (ipotesi ad absurdum, istanza di 3)

(5)

"si sa p e si sa che non si sa p"

$Kp\wedge K\mathrm{\neg }Kp$ (da 4 via A)

(6)

"si sa p e non si sa p"

$Kp\wedge \mathrm{\neg }Kp$ (da 5 via B)

(7)

"non si sa che: p e non si sa che p"

$\mathrm{\neg }K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (reductio ad absurdum da 4→6 - 6 è una contraddizione)

(8)

"è necessario non sapere che p & non si sa che p"

$◻\mathrm{\neg }K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (da 7 via C)

(9)

"è impossibile sapere che: p & non si sa che p"

$\mathrm{\neg }◊K(p\wedge \mathrm{\neg }Kp)$ (da 8 via D)

(10)

(KP) implica l'Onniscienza, e la non Onniscienza implica che non è possibile conoscere qualsiasi proposizione

$\text{(KP)}⊢\mathrm{\neg }\text{(NonO)}$ ovvero $\text{(NonO)}⊢\mathrm{\neg }\text{(KP)}$ (per reductio ad absurdum su 1,2→3 tramite 9, $\mathrm{\neg }((1)\wedge (2))$)

Collegamenti esterni

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